摘要:得
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(Ⅰ)求证:
=
;
(Ⅱ)利用第(Ⅰ)问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1;
(Ⅲ)其实我们常借用构造等式,对同一个量算两次的方法来证明组合等式,譬如:(1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=
=
;,由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2,利用右式可得x2的系数为Cn+13,所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13.请利用此方法证明:(C2n0)2-(C2n1)2+(C2n2)2-(C2n3)2+…+(C2n2n)2=(-1)nC2nn.
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C | m n |
n |
m |
C | m-1 n-1 |
(Ⅱ)利用第(Ⅰ)问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1;
(Ⅲ)其实我们常借用构造等式,对同一个量算两次的方法来证明组合等式,譬如:(1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=
(1+x)[1-(1+x)n] |
1-(1+x) |
(1+x)n+1-(1+x) |
x |