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一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
B
B
A
D
D
C
A
C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9)2 (10),8 (11)(-∞,-1)∪(-1,1) (12)16,
(13) (14)204,53
三、解答题(本大题共6小题,共80分.)
(15)(共12分)
解:(Ⅰ)由已知可得
f(x)=(cosx+2sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx…………………………1分=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx
=cos2x+3sinxcosx-2sin2x
=(1+cos2x)+sin2x+(cos2x-1)
=(sin2x+cos2x)-=sin(2x+)-…………………6分
由-<2x+<+得: -<x<+…………………8分
即函数f(x)的单调递增区间为(-,+)(k∈Z).…………9分
(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=sin(2x+)-,∴f(x)max=.…10分
所求x的集合.…………………………………12分
(16)(共14分)
方法一:
(Ⅰ)证明:连结BD交AC于E,连结ME. ……………………………………1分
∵ABCD是正方形,∴E是BD的中点.∵M是SD的中点,∴ME是△DSB的中位线.
∴ME∥SB. ……………………………………………………………………2分
又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM,………………………………………3分
∴SB∥平面ACM. ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)解:取AD中点F,则MF∥SA.作FQ⊥AC于Q,连结MQ. ……………5分
∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.
∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影.
∵FQ⊥AC,∴MQ⊥AC.
∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角.……………………………………7分
设SA=AB=a,在Rt△MFQ中,MF=SA=,FQ=DE=,
∴tanFQM==.
∴二面角D-AC-M的大小为arctan.……………………………………9分
(Ⅲ)证明:由条件有DC⊥SA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD.∴AM⊥DC.…10分
又∵SA=AD,M是SD的中点,∴AM⊥SD.
∴AM⊥平面SDC.………………………………………………………11分
∴SC⊥AM.
由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.
又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………14分
方法二:
解:(Ⅱ)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,5分
由SA=AB,故设AB=AD=AS=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),
C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M(,0,).
∵SA⊥底面ABCD,
∴是平面ABCD的法向量,=(0,0,1).
设平面ACM的法向量为n=(x,y,z),
=(1,1,0),=(,0,),………………7分
令x=1,则n=(1,-1,-1).………………………………………………………8分
∴cos<,n>===.
∴二面角D-AC-M的大小为arccos.…………………………………………9分
(Ⅲ)∵=,=(-1,-1,1),…………………………………………10分
∴?==0.
∴⊥.…………………………………………………………………………12分
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A,
∴SC⊥平面AMN.又SC?平面SAC,
∴平面SAC⊥平面AMN. ……………………………………………………………14分
(17)(共12分)
解:(Ⅰ)设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A,……1分
P(A)=(0.3)3(0.7)=0.0756………………………………………………4分
答:这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为0.0756.
(Ⅱ)设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B,………………5分
P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704………………………………………………8分
答:这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为0.8704.
(Ⅲ)设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C,………9分
因为有30%的家庭订阅了A报,有60%的家庭订阅了B报,有20%的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30%.
所以P(C)=(0.3)2(0.7)2=0.2646………………………………………12分
答:这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为0.2646.
注:第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30%,后面计算有误,给到10分.
(18)(共14分)
解:(Ⅰ)设抛物线S的方程为y2=2px. …………………………………………………1分
由可得2y2+py-20p=0.……………………………………………………3分
由Δ>0,有p>0,或p<-160.
设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=,
∴x1+x2=(5-)+(5-)=10-=10+…………………………………5分
设A(x3,y3),由△ABC的重心为F(,0),则,,
∴x3=-10,y3=.
∵点A在抛物线S上,∴=2p().∴p=8.…………………………6分
∴抛物线S的方程为y2=16x. …………………………………………………………7分
(Ⅱ)当动直线PQ的斜率存在时,
设PQ的方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0. ………………………………………8分
设P(xp,yp),Q(xQ,xQ),
∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.
∴?=-1,∴xPxQ+yPyQ=0. …………………………………………………10分
将y=kx+b代入抛物线方程,得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=.
从而xPxQ==,∴=0.
∵k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴动直线方程为y=kx-16k=k(x-16).
此时动直线PQ过定点(16,0).…………………………………………………12分
当直线PQ的斜率不存在时,显然PQ⊥x轴,又OP⊥OQ,
∴△POQ为等腰直角三角形.
由得到P(16,16),Q(16,-16).
此时直线PQ亦过点(16,0).……………………………………………………13分
综上所述,动直线PQ过定点M(16,0).………………………………………14分
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0),∴(x)=3ax2+2bx-a2(a>0)………1分
依题意有,∴.……………………………2分
解得∴f(x)=6x3-9x2-36x.…………………………………………………4分
(Ⅱ)∵=3ax2+2bx-a2(a>0)
依题意,x1,x2为方程=0的两个根,且|x1|+|x2|=,
∴(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|=8.
∴∴b2=
∵b2≥0,∴0<a≤6.……………………………………………………………………6分
设p(a)=
由(a)>0得0<a<4,由(a)<0得a>4.
即函数p(a)在区间(0,4)上是增函数,在区间[4,6]上是减函数,
∴当a=4时,p(a)有极大值为96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96.
∴b的最大值为4.…………………………………………………………………9分
(Ⅲ)证明:∵x1,x2是方程的两根,
∴=
∵x1?x2=-,x2=a,∴x1=-.
∴|g(x)|=|
∵x1<x<x2,即-<x<a.
∴||=a(x+)(-3x+
∴||=-
≤+a2+=.……………………………………………………14分
∴||≤成立.
(20)(共14分)
解:(Ⅰ)令x=1,y=0∴f(1)f(0)=f(1)+f(1).
∵f(1)=,∴f(0)=2…………………………………………………………1分
令x=0,∴f(0)f(y)=f(y)+f(-y)即
∴f(y)=f(-y),对任意实数y总成立,∴f(x)为偶函数.……………………3分
(Ⅱ)令x=y=1,得f(1)f(1)=f(2)+f(0).
∴=f(2)+2.
∴f(2)=.
∴a1=
令x=n+1,y=1,得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).
∴f(n+2)=f(n+1)-f(n).…………………………………………………6分
∴an+1=
=
∴{an}是以6为首项,以2为公比的等比数列.…………………………………9分
(Ⅲ)结论:f(x1)<f(x2).
证明:设y≠0,
∵y≠0时,f(y)>2,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>
∴对于k∈N,总有f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]成立.
∴f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]>f[(k-1)y]-f[(k-2)y]
>…>f(y)-f(0)>0.
∴对于k∈N总有f[(k+1)y]>f(ky)成立.
∴对于m,n∈N,若n<m,则有f(ny)<…<f(my)成立.
∵x1,x2∈Q,所以可设|x1|=,|x2|=,其中q1,q2是非负整数,p1,p2都是正整数,
则|x1|=,|x2|=.
令y=,t=q1p2,s=p1q2,则t,s∈N.
∵|x1|<|x2|,∴t<s.∴f(ty)<f(sy),即f(|x1|)<f(|x2|).
∵函数f(x)为偶函数,∴f(|x1|)=f(x1),f(|x2|)=f(x2);
∴f(x1)<f(x2).…………………………………………………………14分
说明:其他正确解法按相应步骤给分.
(1)
|
(2)
|
(3)
|
(4)
|
其中假命题有
(1)若n∥α,m∥β,α∥β,则n∥m; (2)若m⊥α,n∥α,则m⊥n
(3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; (4)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ
其中真命题的个数是( )
(1)
|
(2)
|
(3)
|
(4)
|
其中,假命题是( )
A、(1)(2) |
B、(2)(3) |
C、(1)(3) |
D、(2)(4) |