摘要：3.2利用导数研究函数的极值 学习目标: ⒈理解函数的最大值和最小值的概念.掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大值必有的充分条件, ⒉掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 学习重点难点: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 自主学习 一.知识再现: 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间.求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点.顺次将函数的定义区间分成若干小开区间.并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号.如果左正右负.那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正.那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右不改变符号.那么f(x)在这个根处无极值 二.新课探究 1.函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭 区间上的函数的 图象．图中与是 极小值.是极大值．函 数在上的最大值 是.最小值是． 一般地.在闭区间上连续的函数在上必有最大值 与最小值． 说明:⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续.但没有最大值与最小值, ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数在闭区间上连续.是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值.最小值最多各有一个.而函数的极值可能不止一个.也可能没有一个 2.利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数的图象可以看出.只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较.就可以得出函数的最值了． 设函数在上连续.在内可导.则求在上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求在内的极值, ⑵将的各极值与.比较得出函数在上的最值 三.例题解析: 例1求函数在区间上的最大值与最小值 解:先求导数.得 令＝0即解得 导数的正负以及.如下表 X -2 -1 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y/ - 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知.当时.函数有最大值13.当时.函数有最小 值4 例2 已知,∈.是否存在实数 ,使同时满足下列两个条件:(1))在(0.1)上是减 函数.在［1.+∞)上是增函数,(2)的最小值是1.若存在.求 出.若不存在.说明理由. 解:设g(x)= ∵f(x)在(0.1)上是减函数. 在［1.+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0.1)上是减函数.在［1.+∞)上是增函数. ∴ ∴ 解得 经检验.a=1,b=1时.f(x)满足题设的两个条件. 课堂巩固:

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