摘要：15．在(2x-3y)10的展开式中.求: (1)二项式系数的和, (2)各项系数的和, (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和, (4)奇数项系数和与偶数项系数和, (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和． 解:设(2x-3y)10＝a0x10+a1x9y+a2x8y2+-+a10y10(*) 各项系数和即为a0+a1+-+a10.奇数项系数和为a0+a2+-+a10.偶数项系数和为a1+a3+a5+-+a9.x的奇次项系数和为a1+a3+a5+-+a9.x的偶次项系数和a0+a2+a4+-+a10. 由于(*)是恒等式.故可用“赋值法 求出相关的系数和． (1)二项式系数和为C+C+-+C＝210. (2)令x＝y＝1.各项系数和为(2-3)10＝(-1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C+C+-+C＝29. 偶数项的二项式系数和为C+C+-+C＝29. (4)设(2x-3y)10＝a0x10+a1x9y+a2x8y2+-+a10y10 令x＝y＝1.得到a0+a1+a2+-+a10＝1① 令x＝1.y＝-1(或x＝-1.y＝1) 得a0-a1+a2-a3+-+a10＝510② ①+②得2(a0+a2+-+a10)＝1+510. ∴奇数项的系数和为, ①-②得2(a1+a3+-+a9)＝1-510. ∴偶数项的系数和为. (5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+-+a9＝, x的偶次项系数和为a0+a2+a4+-+a10＝.

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