已知函数f(x)=2lnx+

1-x2

x

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|．并利用不等式结论比较ln²（1+x）与

x2

1+x

的大小．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1对任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

已知f（x）=

lnx

x

，g（x）=-

x2

2

+2ex-tlnx-

1

x

，t为实常数，
（1）比较

1

e

与ln

2

大小．
（2）求f（x）在区间[1，a]（a＞1的常数）上最大值．
（3）当x∈[1，2]时，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]对于λ∈[1，+∞）恒成立，求t取值范围．

给出以下四个数：(ln2)2，ln(ln2)，ln

2

与ln2，其中最大的数为．

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x） 在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对?x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，证明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．