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一、选择题:(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
D
A
A
D
B
B
C
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.90° 14. m<且m≠- 15. 12 16.
三、解答题
17.(12分) (3分)
sinsin+coscos= (6分)
cos(-)= (8分)
(10分)
∴sin(-)=- (12分)
18.(12分)
(1)略 (6分)
(2)不垂直 (12分)
方法一:求出EF=,BE=,取EC中点G,BG=2,GF=1,BF=
∴△BEF是等腰三角形
∴EF与BF不垂直
∴EF与平面BDC不垂直。
方法二:向量法,如图建立坐标系
E(0,0,0),F(1,1,0),B(0,1,2),C(0,2,0)
=(1,1,0),=(0,1,2)
∴EF与BC不垂直 ∴EF与平面BDC不垂直。
19.(12分)
(1)方法一:直线亘这定点P(0,1) (2分)
而P(0,1)在椭圆C内 (3分)
∴与C恒有两个不同交点 (4分)
方法二:由 (2分)
△=(2m)2+4×3×(4+m2)>0 (3分)
∴与C恒有两个不同交点 (4分)
(2)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)则
(6分)
x1+x2+=0(∵x1≠x2)
x1+x2=2x,y1+y2=2y,k=m (8分)
∴x+m=0 (9分)
又y=mx+1 (10分)
消去m得4x2+(y-)2= (12分)
∴M点轨迹方程为4x2+y2-y=0(y≠0)
方法二:由(4+m2)x2+2mx-3=0
(10分)
消去m得4x2+y2-y=0(y≠0)
∴M点轨迹方程为4x2+y2-y=0(y≠0) (12分)
20.(14分)
(理)(1)P1=,P2=,P3=
(2)Pn+2-Pn+1=
∴
∴{Pn+2-Pn+1}是公比为-的等比数列 (10分)
(3) Pn+2-Pn+1=(P2-P1)?(-)n-1=(-)n+1
P2-P1=(-)2,P3-P2=(-)3,……,Pn-Pn-1=(-)n
相加:Pn-P1=(-)2+(-)3+…+(-)n=[1-(-)n-1]
∴Pn= (14分)
(文)(1)an= (4分)
b1=a1=2,b2=,q=
bn=b1qn-1=2?()n-1 (7分)
(2)Cn= (8分)
Tn=1+3?41+5?42+……+(2n-1)?4n-1
4Tn=4+3?42+5?43+……+(2n-1)?4n
-3Tn=1+2?41+2?42+……+2?4n-1 -(2n-1)?4n
=-[(6n-5)4n+5]
∴Tn=[(6n-5)4n+5]
21.(14分)
(理)(1)f′(x)=4+2ax-2x2,由题意f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立 (2分)
∴∴A=[-1,1] (5分)
(2)方程f(x)=2x+x3可化为x(x2-ax-2)=0
∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2是x2-ax-2=0两根 (7分)
△=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=2
∴|x1-x2|=
∵-1≤a≤1 ∴|x1-x2|最大值是 (10分)
∴m2+tm+1≥3在t∈[-1,1]上恒成立
令g(t)=mt+t2-2
∴
m≥2或m≤-2 (14分)
故存在m值,其取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞)
(文)(1)f′(x)=3x2+b
由已知f′(x)在[-1,1]上恒成立 (3分)
∴b≥-3x2在[-1,1] 上恒成立
∵-3x2在[-1,1]上最大值为0 (6分)
∴b≥0 (7分)
(2)f(x)在[-1,1]上最大值为f(1)=1+b (9分)
∴b2-tb+1≥1+b (10分)
即b2-(t+1)b≥0恒成立,由b≥0得
∴b-(t+1)≥0,t+1≤b恒成立
∴t≤-1 (14分)
四、选考题:(10分)
A.(1)△ABE≌△ACD (5分)
(2)△ABC∽△BEC
∴ (8分)
∴AE= (10分)
B.P(2,) P() (3分)
x-y+2=0 (7分)
D= (10分)
C.设a=cos,b=sin,c=cos,d=sin (4分)
|ac+bd|=|coscos+sinsin| (6分)
=|cos(-)|≤1 (10分)
方法二:只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) (6分)
即证:2abcd≤a2d2+b2c2 (8分)
即证:(ad-bc)2≥0
上式显然成立
∴原不等式成立。 (10分)
已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(Ⅰ)求证:当m∈R时,直线l与圆C恒有两个不同的交点;
(Ⅱ)设l与圆交于A、B两点,若,求l的倾斜角;
(Ⅲ)求弦AB的中点M的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.
(Ⅰ)证明:对任意m∈R,直线l与圆C恒有两个公共点.
(Ⅱ)过圆心C作CM⊥l于点M,当m变化时,求点M的轨迹Γ的方程.
(Ⅲ)直线l:x-my+1-m=0与点M的轨迹Γ交于点M,N,与圆C交于点A,B,是否存在m的值,使得
S△CMN |
S△CAB |
1 |
4 |
(Ⅰ)证明:对任意m∈R,直线l与圆C恒有两个公共点.
(Ⅱ)过圆心C作CM⊥l于点M,当m变化时,求点M的轨迹Γ的方程.
(Ⅲ)直线l:x-my+1-m=0与点M的轨迹Γ交于点M,N,与圆C交于点A,B,是否存在m的值,使得?若存在,试求出m的值;若不存在,请说明理由.
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己知在锐角ΔABC中,角所对的边分别为,且
(I )求角大小;
(II)当时,求的取值范围.
20.如图1,在平面内,是的矩形,是正三角形,将沿折起,使如图2,为的中点,设直线过点且垂直于矩形所在平面,点是直线上的一个动点,且与点位于平面的同侧。
(1)求证:平面;
(2)设二面角的平面角为,若,求线段长的取值范围。
21.已知A,B是椭圆的左,右顶点,,过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M,N,交直线于点P,且直线PA,PF,PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点,R和Q的横坐标之和为2,RQ的中垂线交X轴于T点
(1)求椭圆C的方程;
(2)求三角形MNT的面积的最大值
22. 已知函数 ,
(Ⅰ)若在上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为,试求和的值。
(Ⅱ)若为奇函数:
(1)是否存在实数,使得在为增函数,为减函数,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(2)如果当时,都有恒成立,试求的取值范围.
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