如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得证明

（3）因为∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，，

∴与的夹角为，即二面角的大小为．

方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴，又点，，∴

∴，且与不共线，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴，

∴与的夹角为，即二面角的大小为

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，BC=1，，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

【考点定位】本小题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°