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理科部分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
BAACA CDBCD AC
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.25 14. 15.8 16.
三、解答题
17.(本小题满分12分)
解:(I)
(Ⅱ)
18.(本小题满分12分)
解:(I)依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项为40,公差为10的等差数列,
设此数列为,则易知
此次决赛共比赛了5场。
(Ⅱ)由
若要获得的门票收入不少于390万元,则至少要比赛6场。
①若比赛共进行了6场,则前5场比赛的比分必为2:3,且第6场比赛为领先一场的
球队获胜,其概率
②若比赛共进行了7场,则前6场胜负为3:3,则概率
门票收入不少于390万元的概率为
19.(本小题满分12分)
解:方法一(向量法);
(I)证明:以点为原点,棱所
在的直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系
(右手系),设,则,
又已知,可求得以下各点的
坐标为
(Ⅱ)已知是直四棱柱,
,又由(I)知,
即是平面的法向量。
设平面的法向量为则且
由图形可知,二面角的平面为锐角,
二面角的大小为
方法二(综合法):
(I)是直四棱柱,
(Ⅱ)在内,过点作的垂线, 交点,连结。
由(I)知
垂线定理知,
就是二面角的平面角。
同(I)一样,不妨设
在内,
二面角的大小为
20.(本小题满分12分)
解:(I)
令
显然当
(Ⅱ)①当时, 函数在上是单调减函数,
在上的最小值 ,
又
综上,对任意
本问也可以这样证:
(Ⅱ)函数在上单调递增,在和上单调递减,
对任意
21.(本小题满分12分)
解:(I)设椭圆的方程为椭圆方程化为将点代入,解得,椭圆的方程为
(Ⅱ)显然,直线存在斜率(否则不满足题意,5分),设其斜率为,则直线的方程为。代入椭圆的方程,消去并整理得
由方程判别式, 得 ①
设两点的坐标为,则由韦达定理得
将上面使用韦达定理所得的结果代入,并去分
母整理(注意在方程两边先约去9可以简化计算)得
检验①式,均符合;再检验当时,直线是否与椭圆相交于左右两个顶点,显然直线过椭圆的右顶点。
不满足题意,舍去
直线的方程为
22.(本小题满分14分)
解:(I)方法一:当时,显然由已知可得成立。
假设时成立,即
则当时,根据题意有
当时,成立。
根据数学归纳法可知,对任意,成立
方法二:
……,, 将这个等式累乘(相乘),得
将代入得
检验当时,上式也成立,
方法三:
设双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为2,它的两条渐近线与以A(0,1)为圆心、为半径的圆相切.直线l过点A且与双曲线的左支交于B、C两点.
(Ⅰ)求双曲线的方程.(Ⅱ)若求直线l的方程;
已知双曲线C的两条渐近线经过坐标原点,且它们都与以点A(0,)为圆心,半径为1的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线l经过点M(-2,0)及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的倒数的取值范围.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1.平面上有点P满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1,l2,它们分别与圆M,N相交,且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为,试求所有满足条件的点P的坐标.
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