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设双曲线
的两个焦点分别为
、
，离心率为2．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）过点
能否作出直线
，使与双曲线
交于
、
两点，且
，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．
【解析】(1)根据离心率先求出a2的值，然后令双曲线等于右侧的1为0，解此方程可得双曲线的渐近线方程.
（2）设直线l的方程为
,然后直线方程与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示此条件，得到关于k的方程，解出k的值，然后验证判别式是否大于零即可.
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过抛物线y2＝2px(p＞0)的对称轴上的定点M(m，0)(m＞0)，作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
(1)试证明：A，B两点的纵坐标之积为定值；
(2)若点N是定直线l：x＝－m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．
探究：本题第一问，涉及直线与抛物线的交点问题，求证的是这两个交点的纵坐标间的关系，不难想到联立直线与抛物线方程消去x，从而达到目的；对于第二问，容易想到将这三条直线的斜率，从而得到结论．
已知椭圆
＝1(其中a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
(1)求
的值；
(2)若椭圆的离心率e满足
≤e≤
，求椭圆长轴的取值范围．
探究：本题涉及直线与椭圆的交点，对于此类问题往往联立它们的方程消去其中的一个未知数，再利用根与系数间的关系，从而得到相应的两个交点的坐标间的关系，再结合题目中的其它条件将问题解决．
过抛物线
的对称轴上的定点
，作直线
与抛物线相交于
两点．
（I）试证明两点的纵坐标之积为定值；
（II）若点
是定直线
上的任一点，试探索三条直线
的斜率之间的关系，并给出证明.
【解析】本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．
（1）中证明：设
下证之：设直线AB的方程为: x=ty+m与y2=2px联立得消去x得y2=2pty-2pm=0，由韦达定理得
(2)中：因为三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列，下证之
设点N（-m,n），则直线AN的斜率KAN=
，直线BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．
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