摘要：(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)设定义在R上的函数f (x)＝a0x4+a1x3+a2x2+a3x (a i∈R.i＝0.1.2.3 ).当时.f (x)取得极大值.并且函数y＝f¢ (x)的图象关于y轴对称.的表达式,的图象上求两点.使以这两点为切点的切线互相垂直.且切点的横坐标都在区间[-1.1]上,-f | ≤ ．解:∵f¢ (x)＝4a0x3+3a1x2+2a2x+a3为偶函数.∴ f ¢,∴ -4a0x3 +3a1x2 -2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3,∴ 4a0x3 + 2a2x =0对一切x Î R恒成立.∴ a0＝a2＝0.∴f (x)＝a1x3+a3x 又当x＝-时.f (x)取得极大值 ∴ 解得∴f (x)＝x3-x.f¢ (x)＝2x2-1 4分⑵解:设所求两点的横坐标为x1.x2 (x1 < x2).则(2x12-1)(2x22-1)＝-1又∵x1.x2∈[-1.1].∴2x12-1∈[-1.1].2x22-1∈[-1.1]∴2x12-1.2x22-1中有一个为1.一个为-1. ∴或 .∴所求的两点为与(-1.).⑶证明:易知sin x∈[-1.1].cos x∈[-1.1].当0< x < 时.f ¢ (x) < 0,当 < x < 1时.f ¢ (x)>0.∴f (x)在[0.]为减函数.在[.1]上为增函数.又f ＝-.而f (x)在[-1.1]上为奇函数.∴f (x)在[-1.1]上最大值为.最小值为-.即 | f (x) | ≤ ,∴| f | ≤ .| f | ≤ . ∴| f | ≤ | f | ≤

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