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一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,共60分.
20080528
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,共16分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
17.解:……4分
(1)由题知…………………………………………………6分
(2)由(1)的条件下
由,……………………………………………8分
得的图象的对称轴是
则,
……………………………………………………10分
又…………………………………………………12分
18.解:(1)ξ的取值为0、1、2、3、4.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴Eξ=+×2+×3+×4=…………………………………………7分
(2)
…………………………………9分
………………………11分
的最大值为2.……………………………………………………12分
19.解:由三视图可知三棱柱A1B1C1―ABC为直三棱柱,侧梭长为2,底面是等腰直角三角
形,AC=BC=1.…………2分
则C(0,0,0),C1(0,0,2),
A(1,0,0),B1(0,1,2),A1(1,0,2)
∵M为A1B1中点,
…………………………4分
(1)
……………………6分
∥面AC1M,又∵B1C面AC1M,
∴B1C∥面AC1M.…………………………8分
(2)设平面AC1M的一个法向量为
…………………………………………………………10分
则…………………………12分
20.解:(1)………………2分
的等差中项,
解得q=2或(舍去),………………………………………………4分
………………5分
(2)由(1)得,
当n=1时,A1=2,B1=(1+1)2=4,A1<B1;
当n=2时,A2=6,B2=(2+1)2=9,A2<B2;
当n=3时,A3=14,B3=(3+1)2=16,A3<B3;
当n=4时,A4=30,B4=(4+1)2=25,A4>B4;
由上可猜想,当1≤n≤3时,An<Bn;当n≥4时,An>Bn.……………………8分
下面用数学归纳法给出证明:
①当n=4时,已验证不等式成立.
②假设n=k(k≥4)时,Ak>Bk.成立,即,
即当n=k+1时不等式也成立,
由①②知,当
综上,当时,An<Bn;当
21.解:(1)设.
由题意得……………………2分
∵m>1,∴轨迹C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两项点),其
中长轴长为2,短轴长为2.………………………………………………4分
(2)当m=时,曲线C的方程为
由………………6分
令
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.………………………………8分
(3)直线l方程为2x-y+3=0.
设点表示P到点(1,0)的距离,d2表示P到直线x=2的距离,
则
…………………………10分
令……………………………………………………12分
∴的最小值等于椭圆的离心率.……………………………………14分
22.(1)由已知
,
…………………………………………………………2分
又当a=8时,
上单调递减.……………………………………………………4分
………………………………………………8分
(3)设
且
由(1)知
∴△ABC为钝角三角形,且∠B为钝角.…………………………………………11分
若△ABC为等腰三角形,则|AB|=|BC|,
此与(2)矛盾,
∴△ABC不可能为等腰三角形.………………………………………………14分
已知数列{an}是等差数列,a1=1,a1+a2+…+a20=590
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设数列{bn}的通项(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{bn}的前n项和.试比较Sn与的大小,并证明你的结论.