20．甲乙两人参加一次英语口语考试.已知在备选的10道题中.甲能答对其中的6道题.乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试.至少答对两道才算合格. (1)求甲——青夏教育精英家教网—

摘要：20．甲乙两人参加一次英语口语考试.已知在备选的10道题中.甲能答对其中的6道题.乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试.至少答对两道才算合格. (1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望, (2)求甲.乙两人至少有一人考试合格的概率.

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一、选择题：1~12(5×12=60)

题号

答案

二、填空题：13、B；14、-；15、3²⁰⁰⁵；16、(2-2，2)。

三、解答题：

17.解：(1)根据已知条件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

即：a=2sin2θ 2分

又由已知：

得 4分

所以有0<sin2θ<1

所以a∈(0，2) 6分

(2)当a=时由(1)得2sin2θ= 8分

所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

=-2cos2()+1= 10分

所以cos²()=,又

所以cos()=- 12分

18.(九A解法)解：(1)取AC、CC₁中点分别为M、N，连接MN、NB₁、MB₁，

∵AC₁∥MN，NB₁∥CE

∴∠MNB₁是CE与AC₁成角的补角 2分

Rt△NB₁C₁中，NB₁=

Rt△MNC中，MN=6

Rt△MBB₁中，MB₁=

∴cos∠MNB₁=-

∴CE与AC₁的夹角为arccos 4分

(2)过D作DP∥AC交BC于P，则A₁D在面BCC₁B₁上的射影为C₁P，而CE⊥A₁D，由三垂线定理的逆定理可得CE⊥C₁P，又BCC₁B为正方形

∴P为BC中点，D为AB中点， 6分

∴CD⊥AB，CD⊥AA₁

∴CD⊥面ABB₁A₁ 8分

(3)由(2)CD⊥面A₁DE

∴过D作DF⊥A₁E于F，连接CF

由三垂线定理可知CF⊥A₁E

∴∠CFD为二面角C-A₁E-D的平面角 10分

又∵A₁D=

∴A₁D²+DE²=A₁E²=324

∴∠A₁DE=90°

∴DF=6，又CD=6

∴tan∠CFD=1

∴∠CFD=45°

∴二面角C-A₁E-D的大小为45° 12分

(此题也可通过建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解)

19.解：由已知得：

不等式x²+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

即：p(x-1)+x²-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

令f(p)=p(x-1)+x²-4x+3

则有函数f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。 4分

(1)显然当x=1时不恒成立

(2)当x≠1时，有即x>3或x<-1 10分

所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)为所求 12分

20.解：(1)ξ=0、1、2、3

P(ξ=0)=

P(ξ=1)=

P(ξ=2)=

P(ξ=3)=

∴Eξ=1× 6分

(2)设甲考试合格为事件A，乙考试合格为事件B，A、B为相互独立事件

P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

P(B)=

甲、乙两人均不合格为事件

p()=[1-P(A)][1-P(B)]=

∴甲、乙两人至少有一人合各的概率为 12分

21.解：(1)∵AB方程是y=3x+1，则

得(1+9a²)x²+6a²x=0

∴x _A =-,同理BC方程是y=-

可得x_c= 2分

∴|AB|=|x_A-0|?

|BC|=|x_c-0|? 4分

∵|AB|=|BC|

∴=解得a²=

∴椭圆方程为 6分

(2)设AB：y=kx+1(不妨设k>0且k≠1)代入

整理得(1+a²k²)x²+a²kx=0

∴x_A=-,同理x_c= 8分

∴|AB|=，

|BC|=

又|AB|=|BC|

∴整理得

(k-1)[k²+(1-a²)k+1]=0 (k≠1)

∴k²+(1-a²)k+1=0 10分

∴△=(1-a²)²-4≥0,解得a≥

若△=0，则a=,此时k²+[1-()²]k+1=0

k₁=k₂=1与k≠1矛盾，故a>. 12分

22.解：(1)由已知有f′(x)=2n

令f′(x)=0

得x=± 2分

∵x∈[0,+∞],∴x=

∵0<x<时f′(x)<0

X>时f′(x)>0

∴当x=时，f_min(x)=an=2n

= 5分

(2)由已知T_n=cos

= 7分

∵ 9分

∴π>

又y=cosx在(0,π)上是减函数

∴T_n是递增的

∴T_n<T_n+1(n∈N*) 10分

(3)不存在

由已知点列A_n(2n,),显然满足y²=x²-1,(x=2n) 12分

即A_n上的点在双曲线x²-y²=1上，且在第一象限内

∴任意三点A_n、A_m、A_p连线的斜率K_AnAm，K_AnAp，K_AmAp均为正值。

∴任意两个量的乘积不可能等于-1

∴三角形A_nA_mA_p三个内角均无直角

∴不可能组成直角三角形。 14分

（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试

合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;

（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.

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(本小题满分12分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，
甲先从道备选题中一次性抽取道题独立作答，然后由乙回答剩余题，每人答对其中
题就停止答题，即闯关成功．已知在道备选题中，甲能答对其中的道题，乙答对每道题
的概率都是．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．