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一.选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)B (2)D (3)C (4)B
(5)D (6)D (7)A (8)C
二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)(1,-1) (10){y|
y>1}, y = 2x-1 (x>1) (11),
(12) (13) 2 (14)R,
R
三.解答题(本大题共6小题,共80分)
15. 解(Ⅰ)恰有一名男生的概率为. ……………………………3分
(Ⅱ)至少有一名男生的概率为. …………………………8分
(Ⅲ)至多有一名男生的概率为. …………………………13分
16. 解:(Ⅰ). ……………………………3分
又,cosC=
>0,
故在中,
、
是锐角. ∴
,
.
∴. ……………………7分
(Ⅱ) .
……………………10分
由正弦定理 . 解得
,c=6.
∴. ∴
,即AC=5 . ……………………13分
17. 解:(I)依条件得 , …………………2分
解得.
…………………………………………4分
所以an=3+(n-1)=n+2. …………………………………………6分
(II)Pn=, b6=2×26-1=64,
由>64得n2+5n-128>0.
………………………………9分
所以n(n+5)>128.因为n是正整数,且n=9时,n(n+5)=126,
所以当n≥10时,n(n+5)>128. 即n≥10时,Pn> b6. ……………………………13分
18. (Ⅰ)解:∵正三棱柱中AC∥A
∴∠CAD是异面直线AD与A
连结CD,易知AD=CD=a,AC= a, 在△ACD中易求出cos∠CAD=
.
因此异面直线AD与A. …………………………4分
(Ⅱ)解:设AC中点为G,连结GB,GD,
∵△ABC是等边三角形, ∴GB⊥AC.
又DB⊥面ABC, ∴GD⊥AC.
∴∠DGB是所求二面角的平面角. …………………6分
依条件可求出GB=a.
∴tan∠DGB==
.
∴∠DGB=arctan.
……………………………………………8分
(Ⅲ)证明:
∵D是B1B的中点,∴△C1B1D≌△ABD. ∴AD= C1D. 于是△ADC1是等腰三角形.
∵E是AC1的中点, ∴DE⊥AC1. ………………………………………………10分
∵G是AC的中点,∴EG∥CC
∴四边形EGBD是平行四边形. ∴ED∥GB.
∵G是AC的中点,且AB=BC,∴GB⊥AC. ∴ED⊥AC.
∵AC∩AC1=A,
∴ED⊥平面ACC
(或证ED∥GB,GB⊥平面ACC
19. 解:(Ⅰ)∵,
∴.
……………………………………3分
令得,
=0
.
,
∴方程有两个不同的实根
、
.
令,由
可知:
当时,
;
当;
当;
∴是极大值点,
是极小值点. ……………………………………7分
(Ⅱ),
所以得不等式.
即. ………10分
又由(Ⅰ)知,
代入前面的不等式,两边除以(1+a),
并化简得,解之得:
,或
(舍去).
所以当时,不等式
成立.
…………………………14分
20. 解:(Ⅰ)∵
∴.
………………………………………………2分
又椭圆C经过点B(0,-1),解得b2=1.
所以a2=2+1=3. 故椭圆C的方程为. ……………………………4分
(Ⅱ)设l的方程为:y= kx+m,M(x1,y1)、N(x2,y2),
.
则x1+x2= -. ………………6分
Δ=36 k
设线段MN的中点G(x0,y0),
x0=,
线段MN的垂直平分线的方程为:y -.…………………8分
∵|, ∴线段MN的垂直平分线过B(0,-1)点.
∴-1-. ∴m=
. ②
②代入①,得3k2 -(. ③
∵|的夹角为60°,∴△BMN为等边三角形.
∴点B到直线MN的距离d=.
……………………………10分
∵,
又∵|MN|=
=
=,
∴.
……………………………12分
解得k2=,满足③式. 代入②,得m=
.
直线l的方程为:y=.
……………………………14分
{an}是公差为1的等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,Pn,Qn分别是{an},{bn}的前n项和,且a6=b3,P10=Q1+45.
(I)求{an}的通项公式;
(II)若Pn>b6,求n的取值范围.
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(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若Pn>b6,求n的取值范围.
(I)求{an}的通项公式;
(II)若Pn>b6,求n的取值范围.