2006年全国普通高等学校招生统一考试

上海  数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4

分，否则一律得零分．）

1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝       ；

   解：由，经检验，为所求；

2．已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是       ；

   解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：；

3．若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝         ；

   解：由互为反函数关系知，过点，代入得：；

4．计算：＝                ；

   解：；

5．若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝              ；

   解：已知；

6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝                  ；

   解：已知；

7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的

标准方程是                             ；

解：已知为所求；

8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是         ；

   解：如图△OAB中，

 (平方单位)；

9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成

一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是              （结果用分数表示）；

   解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有种方法；

                      2) 剩下的一套全排列，有种方法；

       所以，所求概率为：；

10．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体

中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是     ；

解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方

体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线

面对”，所以共有36个“正交线面对”；

11．若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是                  ．

    解：作出函数的图象，

        如右图所示：

        所以，；

12．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数

的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．

丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是         ；

   解：由＋25＋|－5|≥，

       而，等号当且仅当时成立；

       且，等号当且仅当时成立；

  所以，，等号当且仅当时成立；故；

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结

论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题

后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括

号内），一律得零分．

13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是         [答]（      ）

（A）；       （B）；

（C）；  （D）；

解：由向量定义易得， （C）选项错误；；

14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”

的                                                        [答]（      ）

（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件；

解：  充分性成立：  “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：

1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；

2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；

  必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；

  故选（A）

15．若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有[答]（      ）

（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M；

解：选（A）

    方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是

否为；

        方法2：求出不等式的解集：

≤＋4；

16．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到

已知常数≥0，≥0，给出下列命题：

①  若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的

点有且仅有1个；

②  若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为

（，）的点有且仅有2个；

③  若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是                            [答]（      ）

（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．

解：选（D）

    ① 正确，此点为点；  ② 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另

一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距

离为（或）；  ③ 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线

相距为的两条平行线的交点；

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）

求函数的值域和最小正周期．

[解]   

 ∴ 函数的值域是,最小正周期是；

18．（本题满分12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待

营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙

船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？

[解]  连接BC,由余弦定理得

BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

     于是,BC=10.

     ∵,    ∴sin∠ACB=,

     ∵∠ACB<90°           ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交

于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线

DE与PA所成角的大小（结果用

反三角函数值表示）．

[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得

∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,

于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.

∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.

（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、

OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立

空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、

D、P的坐标分别是A(0,－,0),

B (1,0,0),  D (－1,0,0),  P (0,0, ).

E是PB的中点,则E(,0,)  于是=(,0, ),=(0, ,).

设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；

 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.

由E是PB的中点,得EF∥PA，

∴∠FED是异面直线DE与PA所成

角(或它的补角)，

在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，

于是, 在等腰Rt△POA中，

PA=，则EF=.

在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，

  cos∠FED==

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

         当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).             ∴=3；

         当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

         由得

         又 ∵ ，

    ∴，

    综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；

(2)逆命题是：设直线交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

   例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,

直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；

说明：由抛物线y²=2x上的点A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 满足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2，可证得直线

AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分）

已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），

求数列的通项公式；

（3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|

≤4，求的值．

(1)  [证明]   当n=1时,a₂=2a,则=a；

                  2≤n≤2k－1时, a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

                 a_n+1－a_n=(a－1) a_n,  ∴=a, ∴数列{a_n}是等比数列.

    (2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

             b_n=(n=1,2,…,2k).

   （3）设b_n≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, b_n<；

      当n≥k+1时, b_n>.

      原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

          =(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

          ==.

         当≤4,得k²－8k+4≤0,    4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题

满分9分）

已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．

（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；

（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的

函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数

＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利

用你的研究结论）．

[解]（1）函数y=x+(x>0)的最小值是2，则2=6, ∴b=log₂9.

        (2)  设0<x₁<x₂,y₂－y₁=.

            当<x₁<x₂时, y₂>y₁, 函数y=在[,+∞)上是增函数；

            当0<x₁<x₂<时y₂<y₁, 函数y=在(0,]上是减函数.

         又y=是偶函数，于是，

该函数在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数；

     (3) 可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数.

        当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,

                                   在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数；

        当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,

                                   在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数；

        F(x)=+

           =

        因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

        所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()ⁿ+()ⁿ；

              当x=1时F(x)取得最小值2ⁿ⁺¹；