网址:http://m.1010jiajiao.com/timu_id_105586[举报]
如图,已知直线()与抛物线:和圆:都相切,是的焦点.
(Ⅰ)求与的值;
(Ⅱ)设是上的一动点,以为切点作抛物线的切线,直线交轴于点,以、为邻边作平行四边形,证明:点在一条定直线上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记点所在的定直线为, 直线与轴交点为,连接交抛物线于、两点,求△的面积的取值范围.
【解析】第一问中利用圆: 的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.
即,解得(舍去)
设与抛物线的相切点为,又,得,.
代入直线方程得:,∴ 所以,
第二问中,由(Ⅰ)知抛物线方程为,焦点. ………………(2分)
设,由(Ⅰ)知以为切点的切线的方程为.
令,得切线交轴的点坐标为 所以,, ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形
∴ 因为是定点,所以点在定直线
第三问中,设直线,代入得结合韦达定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圆: 的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.
即,解得(舍去). …………………(2分)
设与抛物线的相切点为,又,得,.
代入直线方程得:,∴ 所以,. ……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为,焦点. ………………(2分)
设,由(Ⅰ)知以为切点的切线的方程为.
令,得切线交轴的点坐标为 所以,, ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形,
∴ 因为是定点,所以点在定直线上.…(2分)
(Ⅲ)设直线,代入得, ……)得, …………………………… (2分)
,
.△的面积范围是
查看习题详情和答案>>
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量=(sinA,b+c),=(a-c,sinC-sinB),满足=
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设=(sin(C+),), =(2k,cos2A) (k>1), 有最大值为3,求k的值.
【解析】本试题主要考查了向量的数量积和三角函数,以及解三角形的综合运用
第一问中由条件|p +q |=| p -q |,两边平方得p·q=0,又
p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinC-sinB),代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,
根据正弦定理,可化为a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,
即,又由余弦定理=2acosB,所以cosB=,B=
第二问中,m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1),m·n=2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B) +cos2A
=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ (k>1).
而0<A<,sinA∈(0,1],故当sin=1时,m·n取最大值为2k-=3,得k=.
查看习题详情和答案>>
设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;
(Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线于轴的焦点为E,圆F的半径为,
则|FE|=,=,E是BD的中点,
(Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=,
设A(,),根据抛物线定义得,|FA|=,
∵的面积为,∴===,解得=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:;
(Ⅱ) 解析1∵,,三点在同一条直线上, ∴是圆的直径,,
由抛物线定义知,∴,∴的斜率为或-,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
设直线的方程为:,代入得,,
∵与只有一个公共点, ∴=,∴,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
∴坐标原点到,距离的比值为3.
解析2由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为
查看习题详情和答案>>
根据两角和与差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
α+β=A,α-β=B 有α=
A+B |
2 |
A-B |
2 |
代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B |
2 |
A-B |
2 |
(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B |
2 |
A-B |
2 |
(2)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A+cox2C-cos2B=1,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断△ABC的形状.
根据两角和与差的正弦公式,有:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ…③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B |
2 |
A-B |
2 |
代入③得sinA+sinB=2sin
A+B |
2 |
A-B |
2 |
(Ⅰ)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B |
2 |
A-B |
2 |
(Ⅱ)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=1-cos2C,试判断△ABC的形状.(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)