题目内容
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
，β=
代入③得 sinA+cosB=2sin
cos
．
（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
sin
；
（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用阅读材料及（1）中的结论试判断△ABC的形状．
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
代入③得 sinA+cosB=2sin
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用阅读材料及（1）中的结论试判断△ABC的形状．
分析：（1）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=
，β=
，即可证明结果．
（2）利用（1）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C，以及A+B+C=π，推出2sinAcosB=0．∠B=
．得到△ABC为直角三角形．
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
（2）利用（1）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C，以及A+B+C=π，推出2sinAcosB=0．∠B=
| π |
| 2 |
解答：解：（1）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ③…
令α+β=A，α-β=B有α=
，β=
，
代入③得cosA-cosB=-2sin
sin
．．…（8分）
（2）由cos2A+cox2C-cos2B=1得：cos2A-cos2B=2sin2C．
由（1）中结论得：-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin2C，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，
所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin2（A+B）．
又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
从而2sinAcosB=0．…（10分）
又因为sinA≠0，所以cosB=0，即∠B=
．
所以△ABC为直角三角形．…（12分）
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ③…
令α+β=A，α-β=B有α=
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
代入③得cosA-cosB=-2sin
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
（2）由cos2A+cox2C-cos2B=1得：cos2A-cos2B=2sin2C．
由（1）中结论得：-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin2C，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，
所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin2（A+B）．
又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
从而2sinAcosB=0．…（10分）
又因为sinA≠0，所以cosB=0，即∠B=
| π |
| 2 |
所以△ABC为直角三角形．…（12分）
点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．
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----------①
------②
------③
有
．
的值。
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