2.(本小题满分12分)

如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.

解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.

由y=x2,      ①

得y'=x.

∴过点P的切线的斜率k= x1

∴直线l的斜率kl=-=-

∴直线l的方程为y-x12=- (x-x1),

方法一:

联立①②消去y,得x2+x-x12-2=0.

∵M是PQ的中点

      x0==-

       y0=x12(x0-x1).

消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).

方法二:

由y1=x12,y2=x22,x0=

得y1-y2=x12x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),

则x0==kl=-

∴x1=-

将上式代入②并整理,得

y0=x02++1(x0≠0),

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).

分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则

.

           y=x2

由       消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.    ③

           y=kx+b

          y1+y2=2(k2+b),

          y1y2=b2.

方法一:

|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y1、y2可取一切不相等的正数,

的取值范围是(2,+).

方法二:

=|b|=|b|.

当b>0时,=b==+2>2;

当b<0时,=-b=.

又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0,

于是k2+2b>0,即k2>-2b.

所以>=2.

∵当b>0时,可取一切正数,

的取值范围是(2,+).

方法三:

由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP

=.

则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).

于是b==-x1x2.

==+=+≥2.

可取一切不等于1的正数,

的取值范围是(2,+).

1.(本小题满分14分)

   已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.

(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;

(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)f'(x)==

∵f(x)在[-1,1]上是增函数,   ∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,

即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.     ①

(x)=x2-ax-2,

方法一:

      (1)=1-a-2≤0,

①       -1≤a≤1,

        (-1)=1+a-2≤0.

∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0

∴A={a|-1≤a≤1}.    方法二:

    ≥0,          <0,

           或

      (-1)=1+a-2≤0      (1)=1-a-2≤0

    0≤a≤1     或    -1≤a≤0

    -1≤a≤1.

∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0

∴A={a|-1≤a≤1}.

(Ⅱ)由=,得x2-ax-2=0,  ∵△=a2+8>0

∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,

       x1+x2=a,

∴      从而|x1-x2|==.

x1x2=-2,

∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.

要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,

当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,

即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立.     ②

设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

方法一:

   g(-1)=m2-m-2≥0,

② 

     g(1)=m2+m-2≥0,

m≥2或m≤-2.

所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.

方法二:

当m=0时,②显然不成立;

当m≠0时,

    m>0,         m<0,

          或

    g(-1)=m2-m-2≥0    g(1)=m2+m-2≥0

 m≥2或m≤-2.

所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.

 0  53756  53764  53770  53774  53780  53782  53786  53792  53794  53800  53806  53810  53812  53816  53822  53824  53830  53834  53836  53840  53842  53846  53848  53850  53851  53852  53854  53855  53856  53858  53860  53864  53866  53870  53872  53876  53882  53884  53890  53894  53896  53900  53906  53912  53914  53920  53924  53926  53932  53936  53942  53950  447348 

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