题型1:空间向量的概念及性质

例1.有以下命题:①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线;②为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,那么点一定共面;③已知向量是空间的一个基底,则向量,也是空间的一个基底。其中正确的命题是(    )

①②    ①③    ②③    ①②③

解析:对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系一定共线”;所以①错误。②③正确。

点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系

例2.下列命题正确的是(    )

共线,共线,则共线;

向量共面就是它们所在的直线共面;

零向量没有确定的方向;

,则存在唯一的实数使得

解析:A中向量为零向量时要注意,B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样,D中需保证不为零向量

答案C。

点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾

题型2:空间向量的基本运算

例3.如图:在平行六面体中,的交点。若,则下列向量中与相等的向量是(  )

 

 

解析:显然

答案为A。

点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力

例4.已知:不共面.若,求的值.

解:,,且

不共面,

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3:空间向量的坐标

例5.(1)已知两个非零向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),它们平行的充要条件是( )

A. :||=:||      B.a1·b1=a2·b2=a3·b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0      D.存在非零实数k,使=k

(2)已知向量=(2,4,x),=(2,y,2),若||=6,,则x+y的值是( )

A. -3或1    B.3或-1    C. -3    D.1

(3)下列各组向量共面的是( )

A. =(1,2,3),=(3,0,2),=(4,2,5)

B. =(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)

C. =(1,1,0),=(1,0,1),=(0,1,1)

D. =(1,1,1),=(1,1,0),=(1,0,1)

解析:(1)D;点拨:由共线向量定线易知;

(2)A 点拨:由题知

(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得

点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况

例6.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。设==,(1)求的夹角;(2)若向量k+与k-2互相垂直,求k的值.

思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果.

解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),==

=(1,1,0),=(-1,0,2).

(1)cos==

的夹角为-

(2)∵k+=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),

k-2=(k+2,k,-4),且(k+)⊥(k-2),

∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。

则k=-或k=2。

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。(+)(k-2)=k22-k·-22=2k2+k-10=0,解得k=-,或k=2。

题型4:数量积

例7(2009江西卷文)如图,在四面体中,截面是正方形,则在下列命题中,错误的为

.    . ∥截面

.    . 异面直线所成的角为

答案:C

[解析]由可得,故正确;由可得∥截面,故正确;     

异面直线所成的角等于所成的角,故正确;

综上是错误的,故选.

点评:本题考查平面向量的数量积及运算律

例8.(1)设向量的夹角为

   

.解:设向量的夹角为,则=.

(2)设空间两个不同的单位向量=(x1,y1,0),=(x2,y2,0)与向量=(1,1,1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求<>的大小(其中0<<><π

解析

(2)解:(1)∵||=||=1,∴x+y=1,∴x=y=1.

又∵的夹角为,∴·=||||cos==.

又∵·=x1+y1,∴x1+y1=

另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=()2-1=.∴x1y1=

(2)cos<>==x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1=,x1y1=.∴x1,y1是方程x2x+=0的解.

同理可得

,∴

∴cos<>=·+·=+=.

∵0≤<>≤π,∴<>=

评述:本题考查向量数量积的运算法则

题型5:空间向量的应用

例9.(1)已知a、b、c为正数,且a+b+c=1,求证:++≤4

(2)已知F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若F1,F2,F3共同作用于同一物体上,使物体从点M1(1,-2,1)移到点M2(3,1,2),求物体合力做的功。

解析:(1)设=(),=(1,1,1),

则||=4,||=.

·≤||·||,

·=++≤||·||=4.

==时,即a=b=c=时,取“=”号。

(2)解:W=F·s=(F1+F2+F3=14。

点评:若=(x,y,z),=(a,b,c),则由·≤||·||,得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||·||≥·的应用,解题时要先根据题设条件构造向量,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题

例10.如图,直三棱柱中,求证:

证明:

 

同理

中点,则

点评:从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边形法则,向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直的条件

1.过△ABC的重心任作一直线分别交ABAC于点DE.若,则的值为(   )

(A)4   (B)3  (C)2   (D)1

解析:取△ABC为正三角形易得=3.选B.

评析:本题考查向量的有关知识,如果按常规方法就比较难处理,但是用特殊值的思想就比较容易处理,考查学生灵活处理问题的能力.

 0  53621  53629  53635  53639  53645  53647  53651  53657  53659  53665  53671  53675  53677  53681  53687  53689  53695  53699  53701  53705  53707  53711  53713  53715  53716  53717  53719  53720  53721  53723  53725  53729  53731  53735  53737  53741  53747  53749  53755  53759  53761  53765  53771  53777  53779  53785  53789  53791  53797  53801  53807  53815  447348 

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网