3.电荷在电场中两点电势能大小的判定方法

(1)利用ε_P＝qφ_P判定，电势能的正负号表示电势能的大小，在应用时要把q和φ_P的正负代入分析处理.

(2)利用电场力做功来判定.不管是正电荷还是负电荷，电场力做正功，电势能一定减小，电场力做负功(克服电场力做功)，电势能一定增加.

(3)用推论判定.正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势越低的地方电势能越大.

例1　 如图所示，负电荷Q的电场中有a、b两点.

(1)比较a、b两点电势高低.

(2)在a点分别放入负电荷q₁和q₂，且q₁的电量大于q₂的电量，则两个电荷的电势能哪一个较大?

(3)比较同一正电荷在a、b两点电势能的大小.

解析　

(1)方法一：先画出-Q产生的电场过a、b处的电场线，如图，因沿电场线方向b在前、a在后，所以φ_a＜φ_b.

方法二：在电场中b点引入一正点电荷，由于它将在-Q的吸引下向a运动，根据正电荷在电场中总是自发地从高电势向低电势运动.所以φ_a＜φ_b.

(2)方法一：取无穷远为零电势，将负电荷q₁、q₂从无穷远移至图中a点，由于q₁电量较大，所以移动q₁过程中克服电场力做功较多，故q₁的电势能大于q₂的电势能.

方法二：根据ε₁＝q₁φ_a,q₂＝q₂/φ_a,因为φ_a小于零，故ε₁、ε₂均大于零，电量大的电势能大.即q₁的电势能大于q₂的电势能.

(3)方法一：取无穷远为零电势，把同一正电荷从无穷远分别移至a、b，显然，移到a的过程中电场力做功较大，根据电场力做正功，电势能减小，故电荷在a点电势能较小.

方法二：运用ε_a＝qφ_a,ε_b＝qφ_b解决，由于φ_a＜φ_b,q为正电荷，故ε_a＜ε_b.

例2　 将一电量q₁＝2×10^-6C的点电荷从电场外一点移至电场中某点A，电场力做功4×10^-5焦耳，求A点电势.

点评　 此题易误解为：U＝＝＝20V.得A点电势为20V.错误在于混淆了电势和电势差两个概念的区别，在电场力的功的计算式W＝qU中，U是指两点间的电势差而非某一点的电势.

解析　 设电场外一点P的电势为φ_P，因其距电场无穷远，易知φ_P＝0,从P→A，W＝qU_PA＝q(φ_P-φ_A),即φ_A＝-20V.

应用W＝qU时可采用两种方法，一是强调带符号用，此时W的正负直接与电场力做功正负对应；二是W、q、U均取绝对值运算，但所得W或U的正负需另由前述方法判断.

[难题巧解点拨]

例1　 将一个电量为-2×10^-8库的点电荷，从零电势点S移到M点要克服电场力做功4×10^-8焦，则M点电势φ_M＝　　　　　 ，若将该电荷从M点移到N点，电场力做功14×10^-8焦，则N点电势φ_N＝　　　　　 ,MN两点的电势差U_MN＝　　　　　 .

解析　 本题可以根据电势差和电势的定义式解决，一般有下列三种解法：

解法一：严格按各量的数值正负代入公式求解：

由W_SM＝qU_SM得，

U_SM＝＝＝2V

U_SM＝φ_S-φ_M　 ∴φ_M＝φ_S-U_SM＝(0-2)V＝-2V

由W_MN＝qU_MN得：

U_MN＝＝＝-7V

而　 U_MN＝φ_M-φ_N　 ∴　 φ_N＝φ_M-U_MN＝(-2-(-7))V＝5V

解法二：不考虑各量的正负，只是把各量数值代入公式求解，然后再用其他方法判断出要求量的正负.

由W_SM＝qU_SM得：U_SM＝＝＝2V

∵　 电场力做负功，∴　 负电荷q受的电场力方向与移动方向大致相反，则场强方向与移动方向大致相同，故φ_S＞φ_M，而φ_S＝0，故φ_M＝-2V.

同理可得：U_MN＝-7伏　 φ_N＝5伏

解法三：整体法：求N点电势时把电荷从S点移到M点再移到N点，看成一个全过程，在这个过程中，由S到N电场力做的总功等于各段分过程中电场力做功的代数和.

即：W_SN＝W_SM+W_MN＝(-4×10^-8+14×10^-8)J＝10×10^-8J

由W_SM＝qU_SN得

U_SN＝＝＝-5V

而φ_S＝0　 ∴　 φ_N＝5伏.

例2　 一个带正电的质点所带电量q＝2.0×10^-9C，在静电场中由a点移到b点，在这一过程中，除电场力外，其他力做的功是6.0×10^-5J，质点的动能增加了8.0×10^-5J，则a、b两点间的电势差U_ab为(　　 )

A.3×10⁴V　　　　 B.1×10⁴V　　　 C.4×10⁴V　　　　 D.7×10⁴V

解析　 以带正电的质点为研究对象，根据动能定理有

W_电+W_非＝ΔE①

又　 W_电＝U_abq②

又①、②两式得：

U_ab＝＝＝1.0×10^-4V

即　 U_ab＝1.0×10^-4V

答案　 选B.

例3　 两个电量分别为+q和-q的带电小球，固定在一条长为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强方向平行.其位置如图所示，若杆绕过O点且垂直于杆的轴线转过180°，则在此过程中电场力做的功为(　　 )

A.0　　 　　 B.qEl　　 　 C.2qEl　　 　　　 D.πqEl

分析　 由意知：杆在转过180°过程中，电场力对+q做正功，同时对-q也做正功，且大小均为qEl，故总功为2qEl；容易出现的错误是：(1)对题意不加分析就认为电场对+q做正功，对-q就必做负功，错选A；(2)对杆的转动180°过程中，由W＝FScosθ认为S为πR，而错选D.

答案　 　选C.

小结　 　电场力做功只与电荷的始末位置电势差有关，与路径无关，本题中不论杆是顺时针转180°，还是逆时针转180°，电场力做功是一样的.

[典型热点考题]

例1　 如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab＝5cm,bc＝12cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角，一个电量为q＝4×10^-8C的正电荷从a移到b电场力做功为W₁＝1.2×10^-7J.求：

①匀强电场的场强E＝?

②电荷从b移到c，电场力做功W₂＝?

③a、c两点的电势差U_ac＝?

解析　 ①设a、b间距离为d，由题设条件有

W₁＝qU_ab＝qEd,

所以E＝＝＝60(V/m).

②设bc两点沿场强方向距离为d₁，

W₂＝qE cos60°

＝4×10^-8×60×12×10^-2×0.5

＝1.44×10^-7(J)

③电荷从a移到C电场力做功W＝W₁+W₂

又W＝qU_ac

∴　 U_ac＝＝＝6.6V

例2　 如图所示，实线为某电场中的电场线，虚线为一带电粒子运动的轨迹，则下列说法正确的是(　　 )

A.粒子带负电

B.粒子在A点具有的电势能ε_A小于粒子在B点具有的电势能ε_B

C.粒子在A点具有的动能E_KA小于在B点具有的动能E_KB

D.粒子在A点的加速度小于在B点的加速度

解析　 根据一个物体运动的轨迹判断，该物体受到的合外力，应是轨迹凹的一侧，故A正确；对于负电荷，顺着电场线方向移动，需克服电场力做功，负电荷的电势有增加，故B正确；根据只有电场力做功，电势能与动能相互转化而总量保持不变这一结论，可确定E_KA＞E_KB，故C错误；根据电场线的疏密反映电场的强弱而确定E_A＜E_B，即力的大小F_A＜F_B，最后得a_A＜a_B，故D正确.

答案　 选ABD.

例3　 如图所示，是某电场中的一条直电场线，一电子从a点由静止释放，它将沿直线向b点运动，下列有关该电场情况的判断正确的是(　　 )

A.该电场一定是匀强电场

B.场强E_a一定小于E_b

C.电子具有的电势能ε_a一定大于ε_b

D.电势φ_a一定低于φ_b

解析　 有的同学认为A对，他们知道在匀强电场中由静止释放的电荷将沿电场线运动，孰不知非匀强电场中的电场线也有直的，由于题目只给出了电场中的一条电场线，就无法根据电子运动决定该电场是否为匀强电场.也有同学错选了B，认为静止的电子只在电场力作用下应向场强大的地方运动.他们混淆了场强和电势两个概念，静止的电子只在电场力作用下应向高电势移动，所以D选项φ_a＜φ_b才是正确的，题目中没有给出具体数据，无法定量计算场强的大小进行比较.只能由电场线的疏密定性地判断出场强的小或大，但是题目只给了一条直电场线，无法比较其疏密程度，当然也就无法比较场强的大小.另外，根据负电荷受电场力方向与场强方向相反，可判断了该电场线的方向由b向a；进而根据沿电场线方向电势降低，判断出电势φ_a＜φ_b，关于C选项要比较电子电势能的变化情况就要从电场力对电子做功的情况来判断.

电子只在电场力作用下由a运动到b，电场力对电子做正功，所以电子的电势能要减少，ε_a＞ε_b，故C选项也对.

答：C、D

小结　 此题主要考查场强大小和电势高低的判断方法及如何比较电荷在电场中不同点电势能的大小.易错之处在于混淆场强和电势两个概念，认为沿电场线方向场强也越来越小，也有同学认为只要电场线为直线，该区域的电场就是匀强电场.解答这类题目的方法是清楚各量大小的判断方法，场强是根据电场线的疏密判断，电势是根据沿电场线方向电势越来越低，而电势能则是根据在两点间移动电荷时电场力的做功情况判断.

[同步达纲练习]

2.电场中两点电势高低的判断方法

判断电势高低，可以从两个方面入手，一是公式，二是图线.

(1)利用公式判断电场中两点电势的高低.

①根据W_AB＝qφ_A-qφ_B判定，即在电场中引入一个检验电荷，由移动检验电荷时电场力对其做功情况来判定.以正电荷q为例，如从A移到B，电场力做正功，则φ_A＞φ_B；若W_AB＜0，则φ_A＜φ_B，同理，若引入负电荷，与上述相反.

②根据功能关系ε_A-ε_B＝qφ_A-qφ_B来判定.以+q为例，若ε_A＞ε_B，则φ_A＞φ_B.

(2)用图线判断

①根据“沿电场线方向电势总是下降”判定.

②根据“同一等势面上电势处处相等”判定.

1.计算电场力做功的几种方法

由于电场力做功具有与路径无关，而仅与始末位置的电势差有关，所计算电场力做功有多种方法.

(1)根据功的定义，用W＝F·Scosθ计算.显然此法仅适用于匀强电场中恒定电场力做功的计算.

(2)用W＝qU计算，此法适用于任何电场.

(3)根据已知电势能，用W＝ε₁-ε₂计算，此法利用了功能关系，适用于任何电场.

5.电场力做功与电势能变化量间的关系

由上面可知：

W_AB＝ε_A-ε_B＝-(ε_B-ε_A)＝-Δε

即电场力对电荷所做的功等于电势能的减少量.

电荷电势能的变化仅由电场力对电荷做功引起，与其他力对电荷做功无关.也就是说电场力做功是电势能变化的量度，电场力做多少功，电荷就减少多少电势能；克服电场力做了多少功，电荷就增加多少电势能.此关系跟重力做功与重力势能变化量间的关系完全相同.

[重点难点解析]

重点　 电势差的概念及定义式的应用，电场力做功与电势能改变的关系.

难点　 电势差的定义U_AB=.

4.电势能(ε)

电荷在电场中具有的势能.

由　 W_AB＝qU_AB＝qφ_A-qφ_B＝ε_A-ε_B可知：

式中ε_A＝qφ_A,ε_B＝qφ_B即分别表示电荷q在A点和B点的电势能.它是标量，但也有正、负之分.其正或负表示该电荷在该点的电势能比参考面的电势能大或小.

3.电势(φ)

电场中某点(A)的电势定义为该点对选定的零电势参考点(0)的电势差.即

φ_A＝φ_AO

而　 U_AO＝

得　 φ_A＝

即电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷由该点移至零电势参考点时电场力所做的功.

电势是标量，但有正、负之分，其正或负表示该点比零电势参考点的电势的高或低.

2.电势差(U_AB)

又叫电压，定义为：电荷在电场中两点间移动时，电场力对电荷所做的功与电荷电量的比值，即　 U_AB＝.可见，A、B两点间的电势差在数值上等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力所做的功W_AB，它是标量，但有正、负之分.U_AB＞0，表示φ_A＞φ_B.

1.电场力做功(W_AB)的特点：

在任何电场中，电场力做功只与电荷在电场中运动的始末位置有关，而与其运动路径无关.它是标量，但有正功、负功之分.

19．如图14所示，竖直放置的两块足够长的平行金属板，相距0.08m，两板间的电压是2400V，在两板间的电场中用丝线悬挂着质量是5×10^-3kg的带电小球，平衡后，丝线跟竖直方向成30°角，若将丝线剪断

　(1)说明小球在电场中作什么运动

　(2)计算小球带电量

　(3)设小球原来离带负电的板0.06m，问经过多少时间小球碰到金属板？

18．如图13，两平行金属板A、B间为一匀强电场，A、B相距6cm，C、D为电场中的两点，且CD＝4cm，CD连线和场强方向成60°角．已知电子从D点移到C点电场力做功为3.2×10^-17J，求：①匀强电场的场强；②A、B两点间的电势差；③若A板接地，D点电势为多少？