摘要：27．已知AB是抛物线的任一弦.F为抛物线的焦点.l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线. (1)若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C.求证:|AF|=|CF|, (2)若异于原点).直线OB与m相交于点P.求点P的轨迹方程, (3)若AB过焦点F.分别过A.B的抛物线两切线相交于点T.求证:且T在直线l上. 解:(1)设A(.因为导数. 则直线AC的方程: 由抛物线定义知.|AF|=+.又|CF|=-(-)=+.故|AF|=|CF|. (2)设由得. ① 直线OB方程: ② 直线m的方程:. ③ 由①②③得y=-p.故点P的轨迹方程为y=-p(x≠0). (3)设则因为AB是焦点弦.设AB的方程为: 得由(1)知直线AT方程: 同理直线BT方程: 所以直线AB方程:. 又因为AB过焦点..故T在准线上.

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已知直线AB是抛物线x²=2py的任意一条弦，F是其焦点
①若

+p2=0（A，B异于原点）过A作x轴垂线l，直线OB交l于P，求点P轨迹方程；
②若AB过焦点F，抛物线以A，B为切点的两切线交于点T，求证AT⊥BT，并指明点T在定直线上运动．

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已知抛物线y²=2px（p＞0）过焦点F的任一条弦AB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁＞0，y₂＜0
（1）若y₁y₂=-4，求抛物线方程；
（2）是否存在常数λ，使 $数学公式$ =λ，若存在，求出λ的值，并给予证明，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线对称轴（ox的正方向）上是否存在一定点M，经过点M的任意一条弦AB，使 $数学公式$ 为定值，若存在，则求出定点M的坐标和定值，若不存在，请说明理由．

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已知中心的坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q(2，

)，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F₁
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆

=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

为定值，且定值是

”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．

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已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点

，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F，
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)命题：“过椭圆

的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A．B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

为定值，且定值是

”。命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F，M两点间的距离的比值．
试类比上述命题，写出一个关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明；
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）。

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已知抛物线y²=2px（p＞0）过焦点F的任一条弦AB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁＞0，y₂＜0
（1）若y₁y₂=-4，求抛物线方程；
（2）是否存在常数λ，使

=λ，若存在，求出λ的值，并给予证明，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线对称轴（ox的正方向）上是否存在一定点M，经过点M的任意一条弦AB，使

为定值，若存在，则求出定点M的坐标和定值，若不存在，请说明理由．

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