摘要：设函数f(x)=x3--2x+5.若对任意x∈［-1.2］.都有f(x)>m.则实数m的取值范围是 . 解析:(x)=3x2-x-2=0.x=1.-. f(-1)=5.f(-)=5.f(1)=3.f(2)=7. ∴m<3. 答案:m∈(-∞.) ●典例剖析 [例1] 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值. (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值, (2)过点A作曲线y=f(x)的切线.求此切线方程. 剖析:(1)分析x=±1处的极值情况.关键是分析x=±1左右(x)的符号. (2)要分清点A是否在曲线上. 解:(1)(x)=3ax2+2bx-3.依题意.(1)=(-1)=0.即 解得a=1.b=0. ∴f(x)=x3-3x.(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令(x)=0.得x=-1.x=1. 若x∈.则(x)＞0. 故f(x)在上是增函数.f(x)在上是增函数. 若x∈.则(x)＜0.故f(x)在上是减函数. 所以f(-1)=2是极大值.f(1)=-2是极小值. (2)曲线y=x3-3x.点A不在曲线上.设切点M(x0.y0).则y0=x03-3x. ∵(x0)=3x02-3. ∴切线方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0). 代入A得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0). 解得x0=-2.∴M.切线方程为9x-y+16=0. 评述:过已知点求切线.当点不在曲线上时.求切点的坐标成了解题的关键. [例2] 已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数.当x=1时.f(x)取得极值-2. (1)求f(x)的单调区间和极大值, (2)证明:对任意x1.x2∈.不等式|f(x1)-f(x2)|＜4恒成立. 剖析:∵x∈R且f(x)是奇函数. ∴f(0)=0. 又x=1是极值点.∴(1)=0.由此可得函数的解析式. (1)解:由奇函数定义. 应有f(-x)=-f(x).x∈R.-ax3-cx+d=-ax3-cx-d.∴d=0. 因此f(x)=ax3+cx.(x)=3ax2+c. 由题意知 解得a=1.c=-3. ∴f(x)=x3-3x.(x)=3x3-3=3(x-1)(x+1).(-1)=(1)=0. 当x∈时.(x)＞0.故f(x)在单调区间上是增函数. 当x∈时.(x)＜0.故f(x)在单调区间上是减函数. 当x∈时.(x)＞0.故f(x)在单调区间上是增函数. ∴为增区间, 为减区间.x=-1时.f(-1)=2为极大值. x=-1时.f(1)=-2为极小值. (2)f(-1)=2.f(1)=-2. ∵f(x)在上是减函数. ∴对任意x1.x2∈.有-2<f(x1)<2.-2<f(x2)<2. -4<f(x1)-f(x2)<4.即|f(x1)-f(x2)|<4. 评述:由奇函数定义可知当x=0时.则有f(0)=0.即函数过原点.对于本题的第(2)问.用数形结合法较为直观. [例3] 设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞.0］上是增函数.在［0.2］上是减函数.x=2是方程f(x)=0的一个根. (1)求n的值, (2)求证:f(1)≥2. 剖析:由题知x=0是极值点.那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢? 解:(1)(x)=3x2+2mx+n. ∵f(x)在(-∞.0］上是增函数.在［0.2］上是减函数. ∴当x=0时.f(x)取到极大值. ∴(0)=0.∴n=0. (2)∵f(2)=0.∴p=-4(m+2). (x)=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0.x2=-. ∵函数f(x)在［0.2］上是减函数. ∴x2=-≥2.∴m≤-3. ∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2. 评述:此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f(1)≥2时.首先将f(1)化成关于m的式子.知道m的范围.便可证之. [例4] 对于函数y=f(x)(x∈D)若同时满足下列两个条件.则称f(x)为D上的闭函数. ①f(x)在D上为单调函数, ②存在闭区间［a.b］D.使f(x)在［a.b］上的值域也是［a.b］. (1)求闭函数y=-x3符合上述条件的区间［a.b］, (2)若f(x)=x3-3x2-9x+4.判断f(x)是否为闭函数. 剖析:这是个知识迁移题.这类问题一般是考查学生的类比猜想能力.探索问题的能力. 解:(1)∵y=-x3.∴y′=-3x2≤0. ∴函数y=-x3为减函数. 故即 ∴所求闭区间为［-1.1］. (2)(x)=3x2-6x-9. 由(x)≥0.得x≥3或x≤-1. 由(x)≤0.得-1≤x≤3. ∴f(x)在定义域内不是单调函数.故f(x)不是闭函数. 评述:这类问题是近年高考命题的一个亮点.很能考查学生的分析问题.探索问题的潜在的能力. ●闯关训练 夯实基础

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