摘要：例1.已知.函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称.求g(11)的值. 解题思路分析: 利用数形对应的关系.可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数.从而化g. ∵ y=f-1(x+1) ∴ x+1=f(y) ∴ x=f(y)-1 ∴ y=f-1-1 即 g-1 ∴ g-1= 评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系.当f(x)存在反函数时.若b=f(a).则a=f-1(b). 例2.设f上的函数.对一切x∈R均有f=0.当-1<x≤1时.f(x)=2x-1.求当1<x≤3时.函数f(x)的解析式. 解题思路分析: 利用化归思想解题 ∵ f=0 ∴ f ∵ 该式对一切x∈R成立 ∴ 以x-2代x得:f+2]=-f(x) 当1<x≤3时.-1<x-2≤1 ∴ f-1=2x-5 ∴ f=-2x+5 ∴ f 评注:在化归过程中.一方面要转化自变量到已知解析式的定义域.另一方面要保持对应的函数值有一定关系.在化归过程中还体现了整体思想. 例3.已知g(x)=-x2-3.f(x)是二次函数.当x∈[-1.2]时.f+g解析式. 解题思路分析: 用待定系数法求f(x)解析式 设f(x)=ax2+bx+c 则fx2+bx+c-3 由已知f为奇函数 ∴ ∴ f(x)=x2+bx+3 下面通过确定f(x)在[-1.2]上何时取最小值来确定b.分类讨论. .对称轴 (1) 当≥2.b≤-4时.f(x)在[-1.2]上为减函数 ∴ ∴ 2b+7=1 ∴ b=3(舍) (2) 当.-4<b<2时 ∴ ∴ (3) 当≤-1.b≥2时.f(x)在[-1.2]上为增函数 ∴ (f(x)min=f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3 ∴ .或 评注:二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论.是求值域的基本题型之一.在已知最值结果的条件下.仍需讨论何时取得最小值. 例4.定义在R上的函数y=f≠0.当x>0时.f(x)>1.且对任意的a.b∈R.有f. =1, (2) 求证:对任意的x∈R.恒有f(x)>0, 是R上的增函数, ·f(2x-x2)>1.求x的取值范围. 解题思路分析: (1) 令a=b=0.则f]2 ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 (2) 令a=x.b=-x 则 f ∴ 由已知x>0时.f(x)>1>0 当x<0时.-x>0.f(-x)>0 ∴ 又x=0时.f(0)=1>0 ∴ 对任意x∈R.f(x)>0 (3) 任取x2>x1.则f(x2)>0.f(x1)>0.x2-x1>0 ∴ ∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数 ·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又1=f在R上递增 ∴ 由f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3 评注:根据f是恒等式的特点.对a.b适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f 得到关于x的代数不等式.是处理抽象函数不等式的典型方法. 例5.已知lgx+lgy=2lg.求的值. 解题思路分析: 在化对数式为代数式过程中.全面挖掘x.y满足的条件 由已知得 ∴ x=4y. ∴ 例6.某工厂今年1月.2月.3月生产某产品分别为1万件.1.2万件.1.3万件.为了估测以后每个月的产量.以这三个月的产品数量为依据.用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可选用y=abx+c或二次函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件.请问用哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由. 解题思路分析: 设f(x)=px2+qx+r 则 ∴ ∴ f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3 设g(x)=abx+c 则 ∴ ∴ g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35 ∵ |1.35-1.37|<|1.3-1.37| ∴ 选用y=-0.8×(0.5)x+1.4作为模拟函数较好.

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