题目内容
设函数f(x)定义在R上,对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证: f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)求证:f(x)在R上单调递减;
(3)设集合A={ (x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)},集合B={(x,y)|f(ax-g+2)=1,a∈R},若A∩B=,求a的取值范围.
(1) 证明略(2)证明略(3) a∈[-,
]
解析:
令m>0,n=0得 f(m)=f(m)·f(0). ∵f(m)≠0,∴f(0)=1
取m=m,n=-m,(m<0),得f(0)=f(m)f(-m)
∴f(m)=,∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1
(2)证明:任取x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]
=f(x1)-f(x2-x1)·f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)],
∵f(x1)>0,1-f(x2-x1)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在R上为单调减函数.
(3)由,
由题意此不等式组无解,数形结合得:≥1,解得a2≤3
∴a∈[-,
]

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