题目内容

设函数f(x)定义在R上,对任意mn恒有f(m+n)=f(mf(n),且当x>0时,0<f(x)<1.

(1)求证: f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;

(2)求证:f(x)在R上单调递减;

(3)设集合A={ (xy)|f(x2f(y2)>f(1)},集合B={(xy)|f(axg+2)=1,a∈R},若AB=,求a的取值范围.

(1) 证明略(2)证明略(3) a∈[-


解析:

m>0,n=0得  f(m)=f(mf(0). ∵f(m)≠0,∴f(0)=1

m=mn=-m,(m<0),得f(0)=f(m)f(-m)

f(m)=,∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1

(2)证明:任取x1x2∈R,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2x1)+x1

=f(x1)-f(x2x1f(x1)=f(x1)[1-f(x2x1)],

f(x1)>0,1-f(x2x1)>0,∴f(x1)>f(x2),

∴函数f(x)在R上为单调减函数.

(3)由

由题意此不等式组无解,数形结合得:≥1,解得a2≤3

a∈[-

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