摘要：20． 已知函数f (x) = x | x-a |(a∈R). (I)判断f (x )的奇偶性, (II)解关于x的不等式:f (x )≥2a2, (III)写出f (x )的单调区间. 解:(I)函数f (x )的定义域是R.当a = 0时.f (-x ) =-x | -x| =-x | x | =-f (x ). ∴ f (x )是奇函数. 当a≠0时.∵ f (a ) = 0.f (-a ) = -2a | a |. ∴ f (-a )≠f (a )且f (-a )≠-f (a ). ∴ f (x )既不是奇函数.也不是偶函数. (II)∵ x | x-a |≥2a2. ∴ 原不等式等价于 ① 或 ② 由①得.无解, 由②得.即. ⑴ 当a = 0时.x≥0, ⑵ 当a＞0时.由.得x≥2a. ⑶当a＜0时.由.得x≥-a. 综上.当a≥0时.f (x )≥2a2的解集为{x| x≥2a},当a＜0时.f (x )≥2a2的解集为{x| x≥-a}. (III)f (x) = x | x-a | =. ⑴ a = 0时.如图1.函数f (x )在R上为单调递增函数.为单调递增区间, ⑵ a＞0时.如图2.函数f (x )的单调递增区间为[a.+∞和-∞.].单调递减区间为[.a], ⑶ a＜0时.如图3.函数f (x )的单调递增区间为[.+∞和-∞.a].单调递减区间为[a.].
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(本小题满分14分)
已知函数f (x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.
(1)当b=0时，若对
x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x1, f (x1))和(x2, g(x2))，其中x1>0.
①求证：x1>1>x2；
②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2－x+xe
+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
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+x)-
cos2x．(本小题满分14分)
已知函数f(x)=log2
.
（1）判断并证明f(x)的奇偶性;
（2）若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根，求实数k的取值范围;
（3）问：方程f(x)=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度
为
的区间(a,b)，使x0∈(a,b)；如果没有，请说明理由.
（注：区间(a,b)的长度为b-a）
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x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；
+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的值；