题目内容

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），设四边形APQC的面积为y（cm2）
（1）求y与t的关系式；
（2）如果△PBQ是直角三角形，求：四边形APQC的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由．
分析：（1）过P作PM⊥BC于M，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质求出求出BD，根据勾股定理求出AD，求出△ABC的面积，根据sin60°=
PM
BP
，求出PM，求出△PBQ的面积，相减即可求出答案；
（2）分为两种情况：①当∠PQB=90°时，根据cosB=
BQ
PB
，代入求出t；②当∠QPB=90°时，根据cosB=
BP
BQ
，代入求出t，分别把t的值代入（1）求出的函数解析式，即可求出答案；
（3）假设存在，根据题意得出方程
3
4
t2-
3
3
4
t+
9
3
4
=
2
3
×
1
2
×3×
3
3
2
，求出方程的b2-4ac，看看是否大于等于0，即可根据判别式判断方程是否有解，根据方程解得情况判断即可．
解答：（1）解：过P作PM⊥BC于M，过A作AD⊥BC于D，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BD=CD=
3
2
，
由勾股定理得：AD=
3
3
2
，
∵sin60°=
PM
BP
，
∴
PM
3-t
=
3
2
，
∴PM=
3
2
（3-t），
∴y=S△ABC-S△PBQ，
=
1
2
BC×AD-
1
2
BQ×PM，
=
1
2
×3×
3
3
2
-
1
2
×t×
3
2
（3-t），
=
3
4
t2-
3
3
4
t+
9
3
4
，
即y=
3
4
t2-
3
3
4
t+
9
3
4
；

（2）解：分为两种情况：①如图，当∠PQB=90°时，cosB=
BQ
PB
，
t
3-t
=
1
2

t=1，
y=
3
4
×1-
3
3
4
×1+
9
3
4
=
7
3
4
；

②如图，当∠QPB=90°时，cosB=
BP
BQ
，

3-t
t
=
1
2
，
t=2，
y=
3
4
×4-
3
3
4
×2+
9
3
4
=
7
3
4
；
答：四边形APQC的面积是
7
3
4
；

（3）解：不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
理由是：假设存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
则
3
4
t2-
3
3
4
t+
9
3
4
=
2
3
×
1
2
×3×
3
3
2
，
t2-3t+3=0，
b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3＜0，
此方程无解，
即不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二．
点评：本题考查的知识点是三角形的面积、等边三角形的性质、直角三角形性质、勾股定理、函数的解析式等，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，注意：要进行分类讨论．
练习册系列答案
相关题目
17、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N．
求证：四边形AMNE是菱形．
已知：如图，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点F，过F作DE∥BC于D，交AC 于E，且AB=6，AC=5，求三角形ADE的周长．
已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：BF=CF+CE．
已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上．
（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由．
（2）如果∠B=60°，请问BD和DC有何数量关系？并说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网