Question

已知：如图，△ABC是边长为20cm的等边三角形，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE交BC于F．
（1）求证：DF=EF；
（2）如果D是AC的中点，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DG∥AB交BC于G，由等边三角形的性质就可以得出GD=CD，就可以得出△GDF≌△BEF，就可以得出结论；
（2）由D是AC的中点就可以求出CD的值，而求得CG的值，由（1）的结论你就可以求出结论．

解答：解：（1）过点D作DG∥AB交BC于G，
∴∠CGD=∠CBA，∠CDG∠A．∠ADF=∠E，∠DGF=∠EBF．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠CBA=∠BAC=∠C=60°．
∴∠CGD=∠CDG=∠C=60°，
∴△CGD是等边三角形，
∴GD=CD=CG．
∵BE=CD，
∴GD=BE．
在△GDF和△BEF中，

∠ADF=∠E GD=BE ∠DGF=∠EBF

，
∴△GDF≌△BEF（ASA），
∴DF=EF；
（2）D是AC的中点，
∴CD=AD=

1

2

AC．
∵AC=20cm，
∴CD=10cm，
∴CG=10cm．
∴GB=10cm．
∵△GDF≌△BEF，
∴GF=BF．
∴BF=5cm．

点评：本题考查的等边三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．