摘要：5．如图.⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆.点D是劣弧的中点.连 结AD并延长.与过C点的切线交于P.OD与BC相交于点E．(1)求证OE＝AC, *(2)求证:＝,(3)当AC＝6.AB＝10时.求切线PC的长． [提示](1)因为AO＝BO.可证OE为△ABC的中位线.可通过证OE∥AC得到OE为中位线,(2)连结CD.则CD＝BD.可转化为证明＝．先证△PCD∽△PAC.得比例式＝.两边平方得＝.再结合切割线定理可证得＝＝,可求DP.AP.再利用勾股定理.切割线定理可求出PC的长． (1)[略证]∵ AB为直径.∴ ∠ACB＝90°. 即 AC⊥BC．∵ D为的中点.由垂径定理.得 OD⊥BC．∴ OD∥AC．又∵ 点O为AB的中点.∴ 点E为BC的中点．∴ OE＝AC． *(2)[略证]连结CD．∵ ∠PCD＝∠CAP.∠P是公共角.∴ △PCD∽△PAC．∴ ＝． ∴ ＝．又 PC是⊙O的切线.∴ PC2＝PD·DA．∴ ＝. ∴ ＝．∵ BD＝CD.∴ ＝． (3)[略解]在Rt△ABC中.AC＝6.AB＝10.∴ BC＝＝8．∴ BE＝4． ∵ OE＝＝3.∴ ED＝2．则在Rt△BED中.BD＝＝2. 在Rt△ADB中.AD＝＝4．∵ ＝.∴ ＝． 解此方程.得 PD＝5.AP＝9．又 PC2＝DP·AP.∴ PC＝＝15．

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