Question

如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；
（2）证明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例关系式，勾股定理得出AE，BF的关系式，求出AE的长．

解答：（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE=∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA．
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB．
∵∠AEB=90°，
∴∠FEO=90°．
∴EF是⊙O切线．

（2）解：∵AF•FB=EF•EF，
∴AF×（AF+15）=10×10．
∴AF=5．
∴FB=20．
∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，
∴△FEA∽△FBE．
∴EF=10
∵AE²+BE²=15×15．
∴AE=3

5

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．