Question

如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=3，EF=2，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；
（2）证明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例关系式，勾股定理得出AE，BF的关系式，求出AE的长．

解答：（1）证明：连接OE，OE交AC于G点；
∵BE平分∠ABC；
∴∠ABE=∠CBE；
∴

AE

=

CE

；
∴∠EAC=∠ABE；
∵EF∥AC；
∴∠AEF=∠EAC；
∴∠AEF=∠ABE；
∵OA=OE；
∴∠OAE=∠OEA；
∵AB是直径；
∴∠ABE+∠EAB=90°；
∴∠AEO+∠AEF=90°；
∴OE⊥EF；
∴EF是⊙O切线．

（2）解：易证△EAF∽△BEF；
∴

EF

FB

=

AF

EF

；
∴EF²=FB•AF；
∴AF=1；
∵△EAF∽△BEF；
∴

AE

BE

=

AF

EF

=

1

2

；
∵AB=3；
∴AE=

3 5

5

，BE=

6 5

5

；
∵AD∥EF；
∴△ABD∽△FBE；

BD

BE

=

BA

BF

=

3

4

；
∴BD=

9 5

10

；
∵△CBD∽△EBA；

CD

BD

=

AE

AB

=

5

5

；
∴CD=

5

5

BD=

9

10

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．