摘要：已知数列{an}.{bn},其中an=1+3+5+-+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),试问是否存在这样的自然数n,使得an≤bn成立? 分析 对n赋值后,比较几对an与bn的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明. 解 an=1+3+5+-+(2n+1)=(n+1)2, 当n=5时,a5=36,b5=25+4=36,此时a5=b5; 当n=6时, a6=49,b6=26+4=68,此时a6<b6; 当n=7时,a7=64,b7=27+4=132,此时a7<b7; 当n=8时,a8=81,b8=28+4=260,此时a8<b8. 猜想:当n≥6时,有an<bn. 3分 下面用数学归纳法证明上述猜想. ①当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式an<bn成立; ②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;当n=k+1时.bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2, 而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2＞6), 即2k2+4k-2>(k+2)2=［(k+1)+1］2. 由不等式的传递性,知bk+1>［(k+1)+1］2=ak+1. ∴当n=k+1时,不等式也成立. 8分 由①②可知,对一切n∈N,且n≥6,都有an<bn. 综上所述,可知只有当n=5时,an=bn;当n≥6时,an＜bn.因此存在使an≤bn成立的自然数n. 10分
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(本小题满分10分)
已知函数f(x)= m·log2x + t的图象经过点A（4，1）、点B（16，3）及点C（Sn，n），其中Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*.
（Ⅰ）求Sn和an；
（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn , bn = f(an) – 1, 求不等式Tn£ bn的解集，n∈N*.
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若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q为常数）对任意n∈N*都成立，则我们把数列{an}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{an}、等比数列{bn}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{an}满足an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，p2-4q＞0，q≠0），x1、x2是方程x2+px+q=0的两根，若b-axi≠0（i=1，2），求证：数列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）
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（1）试问等差数列{an}、等比数列{bn}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{an}满足an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，p2-4q＞0，q≠0），x1、x2是方程x2+px+q=0的两根，若b-axi≠0（i=1，2），求证：数列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）
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（2009•黄浦区二模）若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q为常数）对任意n∈N*都成立，则我们把数列{an}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{an}、等比数列{bn}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{an}满足an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，p2-4q＞0，q≠0），x1、x2是方程x2+px+q=0的两根，若b-axi≠0（i=1，2），求证：数列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）
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（1）试问等差数列{an}、等比数列{bn}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{an}满足an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，p2-4q＞0，q≠0），x1、x2是方程x2+px+q=0的两根，若b-axi≠0（i=1，2），求证：数列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）