已知函数, 数列{}满足: 证明: (I)．; (II)．. 证明: (I)．先用数学归纳法证明.n＝1,2,3,- (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii)——青夏教育精英家教网——

摘要：已知函数, 数列{}满足: 证明: (I)．; (II)．. 证明: (I)．先用数学归纳法证明.n＝1,2,3,- (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0<x<1时 ,所以f上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续, 从而.故n=k+1时,结论成立. 由可知.对一切正整数都成立. 又因为时.. 所以.综上所述． (II)．设函数.．由(I)知.当时.. 从而所以g 上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0, 所以当时.g (x)>0成立.于是．故．

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(本小题满分14分)已知函数满足：；（1）分别写出时的解析式和时的解析式；并猜想时的解析式（用和表示）（不必证明）（2分）（2）当时，的图象上有点列和点列，线段与线段的交点，求点的坐标；（4分）

（3）在前面(1)（2）的基础上,请你提出一个点列的问题，并进行研究，并写下你研究的过程（8分）

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(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.

(1) 求数列及的通项公式;

(2) 求数列的前项和；

(3) 证明存在，使得对任意均成立．

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(本小题满分14分)

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当为偶数时，正项数列满足，求的通项公式；

（3）当为奇数且时，求证：．

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(本小题满分14分)

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当为偶数时，正项数列满足，求的通项公式；

（3）当为奇数且时，求证：．

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(本小题满分14分)

已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立. 若，是数列的前项和.

（I）求数列的通项公式；

（II）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（n为正整数），求数列的变号数；

（Ⅲ）设（且），使不等式

恒成立，求正整数的最大值．

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