摘要：5．设函数的图象上两点..若且点P的横坐标为 (1)求证:P点的纵坐标为定值.并求出这个定值, (2)若 (3)记的前项和.若＜对一切都成立. 试求的取值范围.

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设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）当 a=1时，设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁＞0，x₂＞0），且PQ∥x轴，求P、Q两点间的最短距离；
（Ⅲ）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．查看习题详情和答案>>

设函数f（x）=

的图象上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若

），且点P的横坐标为

．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（

）
（3）记T_n为数列{

}的前n项和，若T_n＜a（S_n+1+

）对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．

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设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；
（3）当m=2时，如果函数g（x）=-f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂．求证：g′（px₁+qx₂）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．

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设函数 $数学公式$ ，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设 $数学公式$ ，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

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设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；
（3）当m=2时，如果函数g（x）=-f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂．求证：g′（px₁+qx₂）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．

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