题目内容
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范围;
(3)当m=2时,如果函数g(x)=-f(x)-ax的图象与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)且0<x1<x2.求证:g′(px1+qx2)<0(其中正常数p,q满足p+q=1,且q≥p).
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范围;
(3)当m=2时,如果函数g(x)=-f(x)-ax的图象与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)且0<x1<x2.求证:g′(px1+qx2)<0(其中正常数p,q满足p+q=1,且q≥p).
(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x,即 m≤
记 φ=
,则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.
求得 φ′(x)=
当x∈(1,e)时;φ′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,φ′(x)>0
故φ(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,
即φ(x)min=φ(e)=e,故m≤e.
(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根.
令g(x)=x-2lnx,则 g′(x)=1-
当x∈[1,2)时,g′(x)<0,当x∈(2,3]时,g′(x)>0
g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数.
故g(x)min=g(2)=2-2ln2
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),
∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3〕
(3)∵g′(x)=
-2x-a,又f(x)-ax=0有两个实根x1,x2,
∴
两式相减,得2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)=a(x1-x2)
∴a=
-(x1+x2),(x1>0,x2>0)
于是 g/(px1+qx2)=
-2(px1+qx2)-
+(x1+x2)
=
-
+(2p-1)(x2-x1).
∵q>p,∴2q≥1,∵2p≤1,∴(2p-1)(x2-x1)<0.
要证:g′(px1+qx2)<0,只需证:
-
<0.
只需证:
+ln
<0.(*)
令
=t∈(0,1),∴(*)化为
+lnt<0
只证 u(t)=lnt+
<0即可.u/(t)=
+
=
-
=
=
,
>1,0<t<1,
∴t-1<0.∴u′(t)>0,∴u(t)在(0,1)上单调递增,∴u(t)<u(1)=0
∴u(t)<0,∴lnt+
<0.
即:
+ln
<0.∴g′(px1+qx2)<0.
x |
lnx |
记 φ=
x |
lnx |
求得 φ′(x)=
lnx-1 |
ln2x |
当x∈(1,e)时;φ′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,φ′(x)>0
故φ(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,
即φ(x)min=φ(e)=e,故m≤e.
(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根.
令g(x)=x-2lnx,则 g′(x)=1-
2 |
x |
当x∈[1,2)时,g′(x)<0,当x∈(2,3]时,g′(x)>0
g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数.
故g(x)min=g(2)=2-2ln2
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),
∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3〕
(3)∵g′(x)=
2 |
x |
∴
|
∴a=
2(lnx1-lnx2) |
x1-x2 |
于是 g/(px1+qx2)=
2 |
px1+qx2 |
2(lnx1-lnx2) |
x1-x2 |
=
2 |
px1+qx2 |
2(lnx1-lnx2) |
x1-x2 |
∵q>p,∴2q≥1,∵2p≤1,∴(2p-1)(x2-x1)<0.
要证:g′(px1+qx2)<0,只需证:
2 |
px1+qx2 |
2(lnx1-lnx2) |
x2-x1 |
只需证:
x2-x1 |
px1+qx2 |
x1 |
x2 |
令
x1 |
x2 |
1-t |
pt+1 |
只证 u(t)=lnt+
1-t |
pt+q |
1 |
t |
-(pt+q)-(1-t)•p |
(pt+q)2 |
1 |
t |
1 |
(pt+q)2 |
(pt+q)2-t |
t(pt+q)2 |
=
p2(t-1)(t-
| ||
t(pt+q)2 |
q2 |
p2 |
∴t-1<0.∴u′(t)>0,∴u(t)在(0,1)上单调递增,∴u(t)<u(1)=0
∴u(t)<0,∴lnt+
1-t |
pt+q |
即:
x2-x1 |
px1+qx2 |
x1 |
x2 |
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