摘要：18．如图.在直三棱柱底面是等腰直角三角形.∠ACB=90°．侧棱的中点.点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G． (Ⅰ)求与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示), [命题意图] 本小题主要考查线面关系和直三棱柱等基础知识.同时考查空间想象能力和推理运算能力． 新课程的立体几何教材分为两个版本.即传统的逻辑推理体系和向量运算方法．为了．适应不同地区的选用情况.前几年高考的立体几何试题是命制出两道平行题目由考生选作．今年试验改变这种做法.原课程与新课程统一命制一道通用的试题.基本要求是用传统方法或向量方法.解题难度相当．于是.试题的知识载体定位于直棱柱．理科用直三棱柱.文科用正四棱柱． 理科试题中的图形实际上是半个正方体.它的原型是正方体的一个性质:“若点M是正方体的棱的中点.则正方体的中心O在截面AMC上的射影恰好是△AMC的重心 ．试题基本上是采用其逆命题.且只给出半个正方体.把问题提为“正方体的一条对角线与截面所成的角 .隐蔽了上述性质.提高了对考生空间想像力和推理能力的要求.以期更好地考查考生的数学能力． [解题思路] 本题(Ⅰ)的基本解法是先求出三棱柱的底面边长.可以在直三棱柱中求解.也可以补形成正四棱柱或直平行六面体求解.思维层次高者可以发现EB=DF避开计算.通过线段比求角的三角函数值．(Ⅱ)问的解法用等积法最为简便．运用向量方法则问较难.总体难度相当． (Ⅰ)解法1 如图.连结BG.则BG是BE在面ABD的射影.即∠EBG是与平面ABD所成的角． 设F为AB中点.连结EF.FC. 因为D.E分别是的中点.又DC⊥平面ABC. 所以CDEF为矩形． 连结DF.G是△ADB的重心.故G∈DF．在直角三角形EFD中. 解法2 同解法1图． 所以 AB·DF·EG=AB·EF·DE.其中EF=1． 的中点P,连结PD,PA,PB,则ABDP是平行四边形,PB必过△ADB的重心． 解得x=2 解法4 如解法1图.由解法1知.CDEF是矩形.故DE=CF.而EF=FB.所以Rt△DEF≌△CFB.则DF=EB． 解法5 连结BG.则BG是BE在面ABD的射影.即与平面ABD所成的角． 如图所示建立坐标系.坐标原点为O． 设CA=2a.则A.D.,E. (Ⅱ)解法1 因为ED⊥AB.ED⊥EF.又EF∩AB=F. 因为ED⊥AB.ED上⊥EF.又EF∩AB=F. 解法3 如(Ⅰ)问解法5中图.A.E．

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