摘要：19． 如图.四棱锥P-ABCD中.底面四边形ABCD是正方形.侧面PDC是边长为a的正 三角形.且平面PDC⊥底面ABCD.E为PC的中点. (I)求异面直线PA与DE所成的角, (II)求点D到面PAB的距离. (1)解法一:连结AC.BD交于点O.连结EO. ∵四边形ABCD为正方形.∴AO=CO.又∵PE=EC.∴PA∥EO. ∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角--------3分 ∵面PCD⊥面ABCD.AD⊥CD.∴AD⊥面PCD.∴AD⊥PD. 在Rt△PAD中.PD=AD=a.则. ∴异面直线PA与DE的夹角为--------6分 (2)取DC的中点M.AB的中点N.连PM.MN.PN. ∴D到面PAB的距离等于点M到 面PAB的距离.--7分 过M作MH⊥PN于H. ∵面PDC⊥面ABCD.PM⊥DC. ∴PM⊥面ABCD.∴PM⊥AB. 又∵AB⊥MN.PM∩MN=M. ∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN. ∴MH⊥面PAB. 则MH就是点D到面PAB的距离.--10分 在 ------12分 解法二:如图取DC的中点O.连PO. ∵△PDC为正三角形.∴PO⊥DC. 又∵面PDC⊥面ABCD.∴PO⊥面ABCD. 如图建立空间直角坐标系 则 .------------3分 (1)E为PC中点. . . ∴异面直线PA与DE所成的角为--------6分 (2)可求. 设面PAB的一个法向量为. ① . ② 由②得y=0.代入①得 令----------9分 则D到面PAB的距离d等于在n上射影的绝对值 即点D到面PAB的距离等于------------12分

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