摘要： 设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b. (1)求证:函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点, (2)设f(x)与g(x)的图象交点A.B在x轴上的射影为A1.B1.求|A1B1|的取值范围, (3)求证:当x≤-时.恒有f(x)＞g(x). (1)证明: y=f(x)=ax2+bx+c y=g(x)=ax+b 得ax2+(b-a)x+(c-b)=0 Δ=(b-a)2-4a(c-b)∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 ∴f(1)=a+b+c=0又a＞b＞c ∴3a＞a+b+c＞3c即a＞0,c＜0 ∴b-a＜0,c-b＜0,a＞0∴Δ=(b-a)2-4a(c-b)＞0 故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点, (2)解:设A.B的坐标分别为(x1,y1).(x2.y2). 则x1.x2是方程(*)的两根故x1+x2=-, x1x2=,所以|A1B1|=|x1-x2|= ==又a+b+c=0,故b=-(a+c) 因而(b-a)2-4a(c-b)=(-2a-c)2-4a(a+2c)=c2-4ac 故|A1B1|=== ∵a＞b＞c,a+b+c=0∴a＞-(a+c)＞c ∴-2＜＜-∴|A1B1|的取值范围是(.2). (3)证明:不妨设x1＞x2,则由(2)知: ＜x1-x2＜2 x1+x2=-=1-由a＞b＞c得:＜＜1, 故0＜1-＜1- 又-2＜＜-,故＜1-＜3, 因而0＜1-≤即0＜x1-x2≤ 由①.②得:-＜x2≤0, 即方程(*).也就是方程f(x)-g(x)=0的较小根的范围是(-.0]. 又a＞0,故当x≤-时.f(x)-g(x)＞0恒成立.即当x≤-时.恒有f(x)＞g(x).

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