（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

1.（1）D是BC的中点；2.（2）△BEC∽△ADC；3.（3）BC²=2AB·CE．

（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

1.（1）求证：点E是边BC的中点；（4分）

2.（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分）

3.（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分）

（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

1.（1）求证：点E是边BC的中点；（4分）

2.（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分）

3.（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分）

（本题满分7分）如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE =60°，∠C = 30°．

（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；

（2）若CD =  ，求BC的长．

（本题满分12分）

如图，在△ACB中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 2，点P为射线CA上的一个动点，以为圆心，1为半径作．

（1）连结，若，试判断与直线AB的位置关系，并说明理由；

（2）当PC为              时，与直线AB相切？当与直线AB相交时，写出PC的取值范围为                  ；

（3）当与直线AB相交于点M、N时，是否存在△PMN为正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，说明理由．