摘要：如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由. [解] (1)直线AB解析式为:y=x+． (2)方法一:设点C坐标为(x.x+).那么OD＝x.CD＝x+． ∴＝＝． 由题意: ＝.解得 ∴ C(2.) 方法二:∵ ,＝.∴． 由OA=OB.得∠BAO＝30°.AD=CD． ∴ ＝CD×AD＝＝．可得CD＝． ∴ AD=1.OD＝2．∴C(2.)． (3)当∠OBP＝Rt∠时.如图 ①若△BOP∽△OBA.则∠BOP＝∠BAO=30°.BP=OB=3. ∴(3.)． ②若△BPO∽△OBA.则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1． ∴(1.)． 当∠OPB＝Rt∠时 ③ 过点P作OP⊥BC于点P.此时△PBO∽△OBA.∠BOP＝∠BAO＝30° 过点P作PM⊥OA于点M． 方法一: 在Rt△PBO中.BP＝OB＝.OP＝BP＝． ∵ 在Rt△PMO中.∠OPM＝30°. ∴ OM＝OP＝,PM＝OM＝．∴(.)． 方法二:设P(x .x+).得OM＝x .PM＝x+ 由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO． ∵tan∠POM=== .tan∠ABOC==． ∴x+＝x.解得x＝．此时.(.)． ④若△POB∽△OBA.则∠OBP=∠BAO＝30°.∠POM＝30°． ∴ PM＝OM＝． ∴ (.)(由对称性也可得到点的坐标)． 当∠OPB＝Rt∠时.点P在x轴上,不符合要求. 综合得.符合条件的点有四个.分别是: (3.).(1.).(.).(.)．

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