摘要：4．注意:(1)垂径定理及其推论是指:一条弦①在“过圆心 ②“垂直于另一条弦 ③“平分这另一条弦 ④“平分这另一条弦所对的劣弧 ⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧 的五个条件中任意具有两个条件.则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制).条理性的记忆.不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用.垂径定理提供了证明线段相等.角相等.垂直关系等的重要依据,(2)有弦可作弦心距组成垂径定理图形,见到直径要想到它所对的圆周角是直角.想垂径定理,想到过它的端点若有切线.则与它垂直.反之.若有垂线则是切线.想到它被圆心所平分,(3)见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角.要想到应用圆内接四边形的性质.(4)等弧的概念等.
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垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径
（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且
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定理：垂直于弦的直径
平分弦，并且平分弦所对的两条弧
平分弦，并且平分弦所对的两条弧
．推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
．（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且
平分弦所对的两条弧
平分弦所对的两条弧
．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且
平分弦所对的另一条弧
平分弦所对的另一条弧
．垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径______．
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径______．
（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且______．
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且______．
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垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（ ）
A．①②
③④ B．①③②④
C．①④②③ D．②③①④
如图，△
内接于⊙
，点
在
的延长线上，sinB＝
,∠CAD＝30°⑴求证:
是⊙的切线；⑵若
,求的长。
【解析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；
（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．
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如图，△
内接于⊙
，点
在
的延长线上，sinB＝
,∠CAD＝30°⑴求证:
是⊙的切线；⑵若
,求的长。
【解析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；
（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．
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