闵行区2006年第二学期高三质量监控考试
数 学 试 卷
考生注意：
1． 答卷前，考生务必将学校、班级、学号、姓名填写清楚．
2． 本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔书写，请不要将答案写在试卷的密封线以内．
题号后面“（文）”、“（理）”分别表示该题文科、理科考生完成.
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若集合
，
，则
=_____________．
2．若
，且
，则
是第___________象限角．
3．若
是方程
的两个根，则
______________．
4．设
是平面内的两个向量，若
，则
__________．
5．若函数
的周期是
，则
________．
6．（理）在极坐标系中，点A
到直线
的距离是_____．
（文）圆
上一动点到点P
的距离最大值是______．
7．（理）若二项式
的展开式中的第二项等于
(a为大于零的常数)，则
=__________．
（文）某工程的工序流程
图如图（工时单位：天），
现已知工程总时数为11天，
则工序f所需工时为______天．
8．为迎接2010年世博会召开，营造良好的生活环境，上海市政府致力于城市绿化．现有甲、乙、丙、丁4个工程队承包5个不同的绿化工程，每个工程队至少承包1项工程，那么工程队甲承包两项工程的概率是______．
9．一个等差数列共有
项，若该数列的各项和为
，且
，则
____________．
10．将棱长为3的正四面体的各条棱三等分,经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体,则剩下的多面体的棱数是________．
11．在复平面内，如果复数
所对应的点在第三象限，则方程
所表示的曲线的焦点坐标是________________．
12．若
，要使
的反函数
的定义域是
，则函数
的定义域可能是_________________（只需写出满足条件的一个结论）．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
13．已知一组数据
(
，且
为奇数)的中位数是
，则是（A）的算术平均数，即
．
（B）的几何平均数，即
．
（C）的平方平均数，即
．
（D）将按从小到大的顺序排列后的第
个数．
[答]（ ）
14．若m、n是不重合的直线,a、b是不重合的平面，则下列命题中真命题是
（A）若mÌa，n//a，则m//n． （B）若m^a，m^b，则a//b．
（C）若
,m//n,则m//a且m//b． （D）若m//a，m//b，则a//b．
[答]（ ）
15．设
，则
是奇函数的充要条件是
（A）
．
（B）
．
（C）
．
（D）
．
[答]（ ）
16．(理)若
的值域为
，则点
的轨迹是图中的
（A）线段AB和OA．
（B）线段AB和BC．
（C）线段AB和OC．
（D）点A和点C．
[答]（ ）
（文）设
，且
，
，则点(a，b)在直角坐标系aOb平面上的区域的面积是
（A）
．
（B）1．
（C）2．
（D）
．
[答]（ ）
三. 解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分12分）
在
中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
若
，且
，求：的面积S．
18.（本题满分12分）
设复数
，且复数
满足
（
是虚数单位），则当
满足什么条件时，
是纯虚数？
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分.
如图，在长方体
中，
，
，
．若分别过
、
作两个
平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记
为
，
，
，且
，
（1）求截面
的面积；
（2）求直线
到平面的距离．
对于问题“已知函数
，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：
解：令
，则
，
当
时，
有最大值，
，显然没有最小值
∴当时，有最小值
，没有最大值．
(1) 你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
(2)（理）对于函数
，试研究其最值情况．
（文）试研究函数
的最值情况．
21.（本满分16分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分8分.
在数控机床加工零件时，刀具磨损会影响加工精度．对刀具的磨损进行补偿，能提高刀具的使用寿命，但也增加了成本，降低了使用效率．现有某种刀具，经每个月测得的刀具厚度（单位：mm）如下：
时间（月）
1
2
3
4
5
刀具厚度
27.0
26.8
26.5
26.3
26.1
如果仅用第1、3两个月的数据来近似地刻画刀具厚度(mm)与时间(月)
(n是正整数)之间满足的一次关系．
(1) 试确定与满足的关系；
(2) 如果刀具的厚度小于
(3)不换刀具时，第个月产生的效益是
万元、成本是
万元，更换一把刀具需要4万元．试问在第几个月更换刀具，可使这几个月的平均利润
最大？并估计此时的刀具厚度．
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分10分.
直角坐标平面内到点
和直线
的距离相等的动点M的轨迹为C，过原点作斜率为1的直线交C于一点
（
），过
作斜率为
的直线
交C于另一点
，过
作斜率为
的直线
交C于另一点
，过
作斜率为
的直线
交C于另一点
．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）试求出
的值；
（3）依照上述作直线的方式可以一直作下去，试写出直线
的作法，你能否发现这些点列的坐标或中点坐标(可以仅仅是横坐标或纵坐标)的变化规律，请你进一步提出某些一般性结论，并给予研究论证．
闵行区2006年第二学期高三质量监控考试
数学试卷
一． 填空题（每题4分，共48分）
1. {0}; 2. 四; 3. 12; 4. 0; 5. 4; 6. 理
、文7; 7. 理
; 12.
(或
).
二．选择题（每题4分，共16分）
13．D； 14．B； 15．C； 16．理B、文B．
三. 解答题. 17.（本题满分12分）解：由已知得
(3分)
∴
, ∴
(6分)
∴
又
，即
,∴
(9分)
∴
的面积S=
．
(12分)
18.（本题满分12分）解：∵
，∴
(5分)
∵
，欲使
是纯虚数，
而=
(7分)
∴
， 即
(11分)
∴当
时，是纯虚数.
(12分)
19.（本题满分14分，第1小题满分9分，第2小题满分5分）
解：（1）依题意设
，则
，
(2分)
(4分) 而
，
∴
，即
， (6分) ∴
(7分)
从而
.
(9分)
（2）
平面
，
∴直线
到平面的距离即点
到平面的距离
(2分)
也就是
的斜边
上的高，为
.
(5分)
20.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）
解：（1）不正确.
(2分)
没有考虑到
还可以小于
.
(3分)
正确解答如下：
令
，则
，
当
时，
，即
(5分)
当
时，
，即
(7分)
∴或，即
既无最大值，也无最小值.
(8分)
（2）（理）对于函数
，令
①当
时，有最小值，
，
(9分)
当
时，
，即
，当
时，即
∴或，即既无最大值，也无最小值.
(10分)
②当
时，有最小值，
，
此时，
，∴
，即，既无最大值，也无最小值 .(11分)
③当
时，有最小值，
，即
(12分)
∴
，即
，
∴当
时，有最大值
，没有最小值.
(13分)
∴当
时，既无最大值，也无最小值。
当时，有最大值，此时；没有最小值.
(14分)
（文）∵
， ∴
（12分）
∴函数
的最大值为
（当
时）而无最小值． （14分）
21.（本满分16分，第1、2小题满分各4分，第3小题满分8分）
解：（1）
（4分）
（2）由
解得
（7分）
所以第
个月更换刀具.
（8分）
（3）第
个月产生的利润是：
（9分）
个月的总利润：
（11分）
个月的平均利润：
（13分）
由 
且
在第7个月更换刀具，可使这7个月的平均利润
最大（13.21万元） （14分）此时刀具厚度为
（mm）
（16分）
22.（本题满分18分，第1、2小题满分各4分，第3小题满分10分）
解：（1）
（4分）
（2）各点的横坐标为：
(8分)
（3）过
作斜率为
的直线
交抛物线于另一点
，
(9分)
则一般性的结论可以是：
点
的相邻横坐标之和构成以
为首项和公比的等比数列（或：点
无限趋向于某一定点，且其横（纵）坐标之差成等比数列；或：
无限趋向于某一定点，且其横（纵）坐标之差成等比数列，等）(12分)
证明：设过点
作斜率为
的直线交抛物线于点
由
得
或
；
点的横坐标为
，则
(14分)
于是
两式相减得：
(16分)
=
故点无限逼近于点
同理无限逼近于点
（18分）