2006年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ．
2．已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ．
3．若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ ．
4．计算：＝ ．
5．若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ．
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
11．若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是 ．
12．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
（A）＝；（B）＋＝；
（C）－＝；（D）＋＝．
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．
15．若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．
①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为
（，）的点有且仅有2个；
③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
求函数＝2＋的值域和最小正周期．
[解]
18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用反
三角函数值表示）．
[解]（1）
（2）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）
（2）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；
（3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．
[解]（1）
（2）
（3）
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
[解]（1）
（2）
（3）
2006年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分．）
1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ；
解：由，经检验，为所求；
2．已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ；
解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：；
3．若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ ；
解：由互为反函数关系知，过点，代入得：；
4．计算：＝ ；
解：；
5．若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ；
解：已知；
6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ；
解：已知；
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的
标准方程是 ；
解：已知为所求；
8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ；
解：如图△OAB中，
(平方单位)；
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成
一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）；
解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有种方法；
2) 剩下的一套全排列，有种方法；
所以，所求概率为：；
10．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体
中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ；
解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方
体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线
面对”，所以共有36个“正交线面对”；
11．若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是 ．
解：作出函数的图象，
如右图所示：
所以，；
12．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数
的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ；
解：由＋25＋|－5|≥，
而，等号当且仅当时成立；
且，等号当且仅当时成立；
所以，，等号当且仅当时成立；故；
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题
后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括
号内），一律得零分．
（A）； （B）；
（C）； （D）；
解：由向量定义易得， （C）选项错误；；
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”
的 [答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件；
解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：
1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；
2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；
必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；
故选（A）
15．若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M；
解：选（A）
方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是
否为；
方法2：求出不等式的解集：
≤＋4；
16．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到
已知常数≥0，≥0，给出下列命题：
① 若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的
点有且仅有1个；
② 若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为
（，）的点有且仅有2个；
③ 若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
解：选（D）
① 正确，此点为点； ② 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另
一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距
离为（或）； ③ 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线
相距为的两条平行线的交点；
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
求函数的值域和最小正周期．
[解]
∴ 函数的值域是,最小正周期是；
18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待
营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙
船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？
[解] 连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用
反三角函数值表示）．
[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.
（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,－,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
PA=，则EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，
cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3；
当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，
由得
又 ∵ ，
∴，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,
直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，
或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线
AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
满分6分）
已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），
求数列的通项公式；
（3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|
≤4，求的值．
(1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则=a；
2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,
an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列.
(2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<；
当n≥k+1时, bn>.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题
满分9分）
已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利
用你的研究结论）．
[解]（1）函数y=x+(x>0)的最小值是2，则2=6, ∴b=log29.
(2) 设0<x1<x2,y2－y1=.
当<x1<x2时, y2>y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数；
当0<x1<x2<时y2<y1, 函数y=在(0,]上是减函数.
又y=是偶函数，于是，
该函数在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数；
(3) 可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数.
当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数；
当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数；
F(x)=+
=
因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.
所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n；
当x=1时F(x)取得最小值2n+1；