2006年高考数学试卷（天津）
文史类
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
次独立重复试验中恰好发生次的概率是
．如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么
．如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么
一．选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
3．本卷共12小题，共100分。
（11）的二项式展开式中项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）。
（12）设向量与的夹角为且则＿＿＿＿。
（13）如图，在正三棱柱中，
若二面角的大小为，
则点C到直线的距离为＿＿＿＿。
（14）若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为＿＿＿＿。
（15）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则＿＿＿＿吨。
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。
（16）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有＿＿＿＿个（用数字作答）。
（17）（本小题满分12分）
已知求和的值。
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是乙机床产品的正品率是
（I）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（II）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）。
（19）（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱
（I）证明平面
（II）设证明平面
（20）（本小题满分12分）
已知函数其中为参数，且
（I）当时，判断函数是否有极值；
（II）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。
（21）（本小题满分12分）
已知数列满足并且
为非零参数，
（I）若、、成等比数列，求参数的值；
（II）设，常数且证明
（22）（本小题满分14分）
如图，双曲线
的离心率为、分别为左、右焦
点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交
点，且
（I）求双曲线的方程；
（II）设和是轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于轴。
中心O为圆心，分别以和为半径作大圆和
2006年高考数学试卷（天津文）参考解答
（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C
（6）D （7）C （8）D （9）D （10）B
（11）35 （12） （13）
（14） （15）20 （16）24
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
C
D
C
D
D
B
（1）已知集合=，则＝，选A.
（2）是等差数列， ∴ ，则这个数列的前6项和等于，选B.
（3）设变量、满足约束条件在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数的最小值为3，选B.
（4） 则，选A.
（5）在开区间中，函数为单调增函数，所以设那么是的充分必要条件，选C.
（6）由函数解得(y>2)，所以原函数的反函数是，选D.
（7）若为一条直线，、、为三个互不重合的平面，下面三个命题：
①不正确； ②正确；③正确，所以正确的命题有2个，选C.
（8）椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.
（9）已知函数、为常数,，∴ 的周期为2π，若函数的图象关于直线对称，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点对称，选D.
（10）函数y且可以看作是关于的二次函数，若a>1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴≤0，矛盾；若0<a<1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0<t<1)时，在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴，∴实数的取值范围是，选B.
（11）35 （12） （13） （14）
（15）20 （16）24
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
（11）的二项式展开式中项为，x项的系数是35.
（12）设向量与的夹角为且∴ ，则。
（13）如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=，则C1D=，所以点C1到直线的距离为。
（14）若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为。
（15）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
（16）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2相邻的偶数。可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
（17）本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
解法一：由得则
因为所以
解法二：由得
解得或由已知故舍去得
因此，那么
且故
（18）本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。满分12分。
（I）解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为
（II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为
（19）本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。
（I）证明：取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中，
又
则连结EM，于是
四边形EFOM为平行四边形。
又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。
（II）证明：连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而。
平面EOM，从而
而所以平面
（20）本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。
（I）解：当时则在内是增函数，故无极值。
（II）解：令得
由及（I），只需考虑的情况。
当变化时，的符号及的变化情况如下表：
0
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
因此，函数在处取得极小值且
要使必有可得所以
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
或
由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有
综上，解得或所以的取值范围是
（21）本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分14分。
（I）解：由已知且
若、、成等比数列，则即而解得
（II）证明：设由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故则
因此，对任意
当且时，所以
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。满分14分。
（I）解：根据题设条件，
设点则、满足
因解得，故
利用得于是因此，所求双曲线方程为
（II）解：设点则直线的方程为
于是、两点坐标满足
将①代入②得
由已知，显然于是因为得
同理，、两点坐标满足
可解得
所以，故直线DE垂直于轴。