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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学（文史类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线关于x轴对称的直线方程为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
3．抛物线的准线方程是，则a的值为 （ ）
A． B．－ C．8 D．－8
4．等差数列{a n}中，已知 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠ F1MF2=120°则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
6．设函数的取值范围是 （ ）
A．（－1，1） B．（―1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
7．已知 （ ）
A． B． C． D．
8．函数上的偶函数，则= （ ）
A．0 B． C． D．
9．已知点的距离为1，则a= （ ）
A． B．－ C． D．
10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全面积为 （ ）
A． B． C． D．
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.若P4与P0重合，则tgθ= （ ）
A． B． C． D．1
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．不等式的解集是 .
14．的系数是 .
15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”
16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地
图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，
现有4种颜色可供选择，则不同的着色方
法共有 种.（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
（I）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（II）求点D1到面BDE的距离.
18．（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.
19．（本小题满分12分）
已知数列||满足
（I）求
（II）证明
20．（本小题满分12分）
已知函数.
（I）函数数的最小正周期和最大值;
（II）在给出的直角坐标系中，画出函数上的图象.
21．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
22．（本小题满分14分）
一、
1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A
二、13． 14． 15． 16．72
三、
17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线
（II）解：连结ED1，有V
由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBC?d=S△DCD?EF.
∵AA1=2?AB=1.
故点D1到平面BDE的距离为.
18．解：设z=
由题设
即
（舍去）
即|z|=
19．（I）解∵
（II）证明：由已知
=
所以
20．解（I）
所以函数的最小正周期为π，最大值为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1
21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：t（h）台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是，
其中t+60，
若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有
即
即， 解得.
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭
22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得
点P到定点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）
设，
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直线OF的方程为：， ①
直线GE的方程为：. ②
从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，
整理得.
当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之
和为定值.