1．函数的最小正周期T=             .

2．若             .

3．在等差数列中，a₅=3, a₆=－2,则a₄+a₅+…+a₁₀=             .

4．已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标

是             .

5．在正四棱锥P―ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于             .（结果用反三角函数值表示）

6．设集合A={x||x|<4},B={x|x²－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且=             .

7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=             .（结果用反三角函数值表示）

8．若首项为a₁，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a₁，公比q的一组取值可以是（a₁，q）=             .

9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为             .（结果用分数表示）

10．方程x³+lgx=18的根x≈             .（结果精确到0.1）

11．已知点其中n为正整数.设S_n表示△ABC外接圆的面积，则=             .

12．给出问题：F₁、F₂是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F₁的距离等于9，求点P到焦点F₂的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由

   ||PF₁|－|PF₂||=8，即|9－|PF₂||=8，得|PF₂|=1或17.

   该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.

                                                                              .

13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是                                 （    ）

                                       A．y=tg|x|.                                               B．y=cos(－x).

                                       C．                                                        D．.

14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是                                                     （    ）

                                       A．α、β都垂直于平面r.

                                       B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

                                       C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.

                                       D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.

15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N四点中，函数的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点                                                                 （    ）

                                       A．P．                   B．Q.                        C．M.              D．N.

16．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下

                                       A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.

                                       B．若a=1， 0<b<2,则方程g（）=0有大于2的实根.

                                       C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称

                                       D．若 a≠0,b=2,则方程g（）=0有三个实根.

17．（本题满分12分）

    已知复数z₁=cosθ－i，z₂=sinθ+i，求| z₁?z₂|的最大值和最小值.

18．（本题满分12分）

    已知平行六面体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B₁D⊥BC，直线B₁D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD―A₁B₁C₁D₁的体积.

19．（本题满分14分）

    已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

   （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱

        宽l是多少？

   （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设

        计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧

        道的土方工程量最小？

      （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.

    在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

   （1）求向量的坐标；

   （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；

   （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.

已知数列（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列.

   （1）求和：

   （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.

   （3）设q≠1，S_n是等比数列的前n项和，求：

2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（文史类）答案

1．π.  2．.   3．－49 .  4．.   5．arctg2.   6．[1,3].

7．   8．的一组数）. 9． 

10．2.6 .                   11．4π      12．|PF₂|=17.

题  号

13

14

15

16

代  号

C

D

D

B

17．[解]

   故的最大值为最小值为.

18．[解]连结BD，因为B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD.

又因为直线B₁D与平面ABCD所成的角等于30°，所以

∠B₁DB=30°，于是BB₁=BD=2.

故平行六面体ABCD―A₁B₁C₁D₁的体积为S_ABCD?BB₁=.

19．[解]x须满足

所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

，所以是奇函数.

研究在（0，1）内的单调性，任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁<x₂ ，则

得>0，即在（0，1）内单调递减，

由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.

20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），  椭圆方程为.

（2）由椭圆方程，得

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.

[解二]由椭圆方程，得 于是

得以下同解一.

21．[解]（1）设得

   所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：(x－3)²+y(y+1)²=10, 得圆心（3，－1），半径为.

设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则

故所求圆的方程为(x－1)²+(y－3)²=10。

（3）设P (x₁,y₁), Q (x₂,y₂) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则

故当时，抛物线y=ax²－1上总有关于直线OB对称的两点.

22．[解]（1）

（2）归纳概括的结论为：

若数列是首项为a₁，公比为q的等比数列，则

（3）因为