湖南省岳阳市一中2009届高三第六次月考
数学文科
时量:120分钟 分值:150分
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1.函数的定义域
(A) (B) (C) (D)
2.在等比数列中,若,,则公比
(A) (B) (C) (D)
3.已知直线和平面,则的一个必要非充分条件是
(A)、 (B)、 (C)、 (D)与成等角
4.已知展开式中各项系数和为
(A) (B) (C) (D)
5.已知非零向量和满足且,则△ABC为
(A).等边三角形 (B).等腰非直角三角形 (C).非等腰三角形 (D).等腰直角三角形
6.若实数满足不等式,则的最大值为
(A).4 (B).11 (C).12 (D).14
7.已知f(x)=cosx,g(x)=cos(x-),则f(x)的图象
(A).与g(x)的图象相同
(B).与g(x)的图象关于y轴对称
(C).向左平移个单位,得到g(x)的图象
(D).向右平移个单位,得到g(x)的图象
8.如图正方体的棱长为,长为的线段的端点在棱上运动,点在正方形内运动,则的中点的轨迹的面积是
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.
9. 设数列的首项,且满足,则 228 .
10.在
则角 .
11. 若两个集合与之差记作“”,其定义为:如果集合,集合,则等于 .
12. 双曲线边作等边三角形,若双曲线恰好平分等边三角形的另两条边,则双曲线的离心率为 。
13.在(+)9的展开式中,x3的系数为 .
14.指数函数y = ax和对数函数y = logax(a>0,a≠1)的图象分别为C1、C2,点M在曲线C1上,线段OM(O为坐标原点)交曲线C1于另一点N.若曲线C2上存在一点P,使点P的横坐标与点M的纵坐标相等,点P的纵坐标是点N横坐标的3倍,则点P的横坐标为 .
15.设是半径为的球面上四个不同的点,且满足,,,则的最大值为 8 .
三、解答题:(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
设函数其中向量,。
⑴求函数的最小正周期和在上的单调递增区间;
⑵当时,的最大值为2,求的值。
解:(1)
∴函数的最小正周期。
在上单调递增区间为或。
(2)当时,∵递增,∴当时,取最大值为,即。解得,∴的值为。
17.(本小题满分12分)
且各轮问题能否正确回答互不影响.
(I)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,
解:(I)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,
则,,,,
∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率为:
………6分
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率为:
18.(本小题满分12分)
如图,正四棱柱中,侧棱长为,底面边长为,是棱的中点
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小;
(3)在侧棱上是否存在点,使得平面,
证明你的结论.
((1)略(2)(3)在侧棱上不存在点,使得平面)
19(本小题满分13分)
已知
(I) 当时,求证在内是减函数;
(II) 若在内有且只有一个极值点,求实数的取值范围
解:(I)∵
当即时,有且
∴在内恒有,即在内是减函数.
(II)要使在内有且只有一个极值点,则必有
且解得或
当时,,
∴在上,在上 是极小值点.
当时,
∴在上,在上 是极大值点.
故当时,在内有且只有一个极值。
20.(本小题满分13分)
如图,已知点,直线:,
为平面上的动点,过作直线的垂线,
垂足为点,且。
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点的直线交轨迹于,
两点,交直线于点,已知,,求的值。
解:(Ⅰ)设点,则,由得:
,化简得
(Ⅱ)设直线的方程为:.
设,,又,联立方程组,消去得:
,,
故
由,得:
,
整理得:,,
∴。
21.(本小题满分13分)
我们用部分自然数构造如下的数表:用表示第行第个数为整数,使;每行中的其余各数分别等于其‘肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外,如图),设第 (为正整数)行中各数之和为。
(1) 试写出并推测和的关系(无需证明);
(2) 证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(3) 数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在求出的关系;若不存在,请说明理由。
解:(1)
可见:
猜测:
(2)由(1)
所以是以为首项,2为公比的等比数列
∴
(若考虑,且不讨论,扣1分)
(3)若数列中存在不同的三项恰好成等差数列,不妨设
显然,是递增数列,则。
即:,于是,
由且知,
∴等式的左边为偶数,右边为奇数不成立,故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。