湖北省襄樊市2009年3月高三调研统一测试
数 学(文科)
命题人：襄樊市教研室 郭仁俊 审定人：襄樊四中 尹春明
本试卷共4页，全卷满分150分．考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷密封线内，将考号最后两位填在答题卷右下方座位号内，同时把机读卡上的项目填涂清楚，并认真阅读答题卷和机读卡上的注意事项。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
3．将填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4．考试结束后，请将机读卡和答题卷一并上交．
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.
设全集U
= {1，3，5，7}，M
= {1，a－5}，∁U M = {5，7}，则实数a的值为
A．－2 B．2 C．－8 D．8
2.
已知向量a = (1，n)，b = (－1，n)，若a与b垂直，则| a |等于
A．1 B．2 C．
D．4
3.
已知函数
，则
的值是
A．
B．
C．－9 D．9
4.
已知函数
的最小正周期为
,则该函数图象
A．关于直线
对称 B．关于点(
，0)对称
C．关于点(
，0)对称 D．关于直线
对称
5.
对于平面
和直线m、n，给出下列命题：
①若
，则m、n与所成的角相等；②若
，
，则；
③若
，
，则；④若m与n是异面直线，且，则n与相交．
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
6.
设奇函数
在(0，＋∞)上为增函数，且
，则不等式
的解集为
A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)
7.
袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为
A．
B．
C．
D．
8.
如图，直线MN与双曲线
的左右两支分别交于M、N两点，与双曲线的右准线交于P点，F为右焦点，若|FM| = 2|FN|，
，则实数
的取值为
A．
B．
9.
设P表示平面图形，m(P)是P表示的图形面积．已知
，
，且
，则下列恒成立的是
A．
B．
C．
D．
10.
已知图一中的图像对应的函数为
，则图二中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是
A．
B．
C．
D．
二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卷相应位置上。)
11. 过点A(2，－3)，且与向量m = (4，－3)垂直的直线方程是 ．
12. 从1到100的正整数中删去所有2的倍数及3的倍数后，剩下数有 个．
13.
已知正方体外接球的体积是
，那么正方体的棱长等于 ．
14.
假设甲、乙、丙三镇两两之间的距离皆为
15.
已知是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，
，那么在区间[－1，3]内，关于x的方程
(k∈R，k≠1)有4个根，则k的取值范围为 ．
三．解答题(本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
16. 
(本大题满分12分)
某校高三文科分为四个班，高三数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120~130 (包括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
(1)各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．
17.
(本大题满分12分)
已知A、B、C的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)、C(
)，
．
(1)若
，求角的值；
(2)若
，求
的值．
18.
(本大题满分12分)
在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC = CD
= 1．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大小；
(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．
 |
19. (本大题满分12分)
已知点A(－1，0)、B(1，0)和动点M满足：
，且
，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)求△APQ面积的最大值．
20. (本大题满分13分)
己知a≠0，函数
，二次函数
．
(1)若a < 0，求函数的单调区间；
(2)当函数
存在最大值且与的图象只有一个公共点时，记的最大值为
，求函数的解析式；
(3)若函数与在区间(a－2，a)内均为增函数，求实数a的取值范围．
21. (本大题满分14分)
已知数列{an}的前n项和Sn是二项式
展开式中含x奇次幂的系数和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设
，
，求
的值．
一．选择题：DCBBA
二．填空题：11．4x－3y－17 = 0 12．33 13．
14．
15．
三．解答题：
16．(1)解：由频率分布条形图知，抽取的学生总数为
人 4分
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d
由4×22＋6d = 100解得：d = 2 6分
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． 8分
(2)解：在抽取的学生中，任取一名学生，分数不小于90分的概率为
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75 12分
17．(1)解：∵
，
2分
∴由
得：
，即
4分
又∵
，∴
6分
(2)解：
8分
由
得：
，即
10分
两边平方得：
，∴
12分
18．方法一
(1)证：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC 4分
(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角
6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小为45°
8分
(3)解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连结DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角
10分
设AB = a，在Rt△BHD中，
，
∴
， 10分
解得：
，即线段AB的长度为1 12分
方法二
(1)同方法一 4分
(2)解：设以过B点且∥CD的向量为x轴，
为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，
= (1，1，0)，
= (0，0，a)
平面ABC的法向量
= (1，0，0)
设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则
取n = (1，－1，0)
6分
∴二面角C－AB－D的大小为45° 8分
(3)解：
= (0，1，－a)，
= (1，0，0)，
= (1，1，0)
设平面ACD的一个法向量是m = (x，y，z)，则
∴取m = (0，a，1)，由直线BD与平面ACD所成角为30°，故向量、m的夹角为60°
故
10分
解得：，即线段AB的长度为1 12分
19．(1)解：设M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即
2分
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1
∴曲线C的方程为
． 4分
(2)解法一：设直线PQ方程为
(
∈R)
由
得：
6分
显然，方程①的
，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有
8分
令
，则t≥4，
10分
当
时有最大值9，故
，即S≤3，∴△APQ的最大值为3 12分
解法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3
设直线PQ方程为
由
得：
① 6分
显然，方程①的△＞0，则
∴
8分
10分
令
，则
∴
，即S＜3
∴△APQ的最大值为3 12分
20．(1)解：
∵a＜0，∴
故函数f (x)在区间(－∞，
)、(－a，＋∞)上单调递增，在(，－a)上单调递减 4分
(2)解：∵二次函数
有最大值，∴a＜0 5分
由
得：
6分
∵函数
与
的图象只有一个公共点，
∴
，又a＜0，∴－1≤a＜0 8分
又
，∴
(－1≤a＜0) 10分
(3)解：当a < 0时，函数f (x)在区间(－∞，)、(－a，＋∞)上单调递增，
函数g (x)在区间(－∞，
)上单调递增
∴
12分
当a > 0时，函数f (x)在区间(－∞，－a)、(，＋∞)上单调递增，
函数g (x)在区间(，＋∞)上单调递增
∴
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，
]∪[3，＋∞) 13分
21．(1)解：记
令x = 1得：
令x =－1得：
两式相减得：
，∴
4分
当n≥2时，
当n = 1时，
，适合上式
∴
6分
(2)解：
注意到
8分
可改写为：
∴
故
10分
∴
12分
14分