答：最少是一个，最多是三个

  【评析】该题根据实系数复数方程虚数根成对出现得到的结论，但这一结论在当时并没有在大范围的教材中出现。

解：左式=(x⁴+5x³-6x²）-（x²+8x+12）=(x+6)[x²(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x³-x²-x-2)

=(x+6)[(x³-2x²)+(x²-x-2)] =(x+6)(x-2)(x²+x+1)=0可得原方程的四根为：

【评析】该题分解因式的技巧性过强，多数学生不能完成，竞赛性质太浓

1963?5．根据对数表求的值

解：

【评析】对数值中的符号，当时是否应该、有必要引入中学还在讨论当中，高考就出现了这样符号。结论：研究及有争议的内容不能在试题中出现。

1965附加题（1）已知为实数，证明均为正数的充要条件是

（2）已知方程的三根都是实数，证明是一个三角形的三边的充要条件是

证明：（1）条件的必要性是显然的，因为已知

所以立即可得，，

下面证明条件的充分性：

设是三次方程的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有

此即由此即可知三次方程的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由可知，方程无零根，故

（2）由（1）的证明可知，均为正数的充要条件是于是问题转化为证明为三角形三条边的充要条件为

条件的必要性：

若为三角形的三边，则由三角形的性质必有

于是

由此可得

即.条件的充分性：若，则

此式中至少有一因式大于0，今设则必有

如果两式相加得，即，此与相矛盾

故有此即

此即可作为一个三角形的三条边

综上所证可知，方程的三根为一个三角形的三条边的充要条件是

【评析】这个试题以附加题形式出现，难度较大，但也不能大到无一人（甚至参加国际数学竞赛的学生）能作上程度。结论：试题不能无线拔高。

（1977北京文4）不查表求sin105⁰的值

解：

【评析】当时，并没有要求记特殊角三角函数值，所以题虽然不难，但会的人不多。

（1977年福建理科2（2）题）证明：

（1977年河北试题第3题）．证明：

证：左边=

=右边

（1977年上海理科第1（4）题）求证：

【评析】这些该题本身不难，但三角证明题几地都出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度。结论：三角证明一般不作为证明题出现。

   （1977年福建理科第3题）在半径为R的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和S_n;（2）所有这些正六边形的周长之和S.

解：如图，半径为R的圆内接正六边形的周长为6R，

       A       B       

           C  E        

               D       

          O              

设C为AB的中点，连结OC，OB，则OC⊥AB

∴OC=CD=

第二个正六边形的周长

同理可得

第三个正六边形的周长第四个正六边形的周长…………

于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：

6R，……

①前n个正六边形周长的和

②所有这些正六边形周长的和

【评析】从题本身上看，该题是一个好题，但是其答案在全国引起争议――归纳出的结论到底是否要证明是等比数列？即使不证明也要体现有等比数列的过程。从该题对以后影响是，出现了用式子表达等比、等差数列热潮。

（1977年福建文科第4题）．求抛物线和圆在第一象限的交点处的切线方程

解：解方程组

（1）代入（2）得

x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1），得（仅取正值），

∴在第一象限的交点为（）从抛物线得

∴过点（）的抛物线的切线方程是

过点（）的圆的切线方程是即

【评析】该题的问题是表述不清：有人认为只求抛物线的切线方程，也有人认为只求圆的切线方程，答案倒认为是求圆和抛物线的方程。

（1977年黑龙江第2题第（1）问）．计算下列各题：

解：当当

【评析】该题引发了分段表示法的争论，结论，如果是分段出现的，结果一般用分段函数形式给出

（1977年江苏第1（5）题）把直角坐标方程化为极坐标方程

解：原方程可展开为

【评析】该题从一般情况下考虑（直角坐标系的原点为极点，x轴为极轴且长度单位不变），但没有交代清楚一般情况下，以致于该题出现的情况是：一般的学生答的好，程度很高的如参加竞赛的学生反倒没有答好！属于交代不明出现的失误。

（1977年上海理科第6题）已知两定点A（-4，0）、B（4，0），一动点P（x,y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线

解：直线PA、PB的斜率分别是

【评析】该题解答有误，应该加上条件(x≠±4，相应曲线为以（±2,0）为焦点、以8为长轴的椭圆，去掉长轴的两个端点)。结论：说明轨迹、图形的问题要保证惟一及等价。

（1979年文科理科第四题）叙述并证明勾股定理

证：略

【评析】这个题当时答案是用坐标法的距离公式证明的，但是距离公式是由勾股定理推导出的，因而形成“因为A……所以A”的循环论证错误，而得出一般用拼图法得到；拼图法能否算作证明还在争论中，但当年多数省市按错对待。结论：数形结合的方法得到的结论不能以证明题的形式出现。

（1980年理科第八题）已知0＜α＜π，证明：并讨论α为何值时等号成立

解：即证：两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα.而 2sinαsin2α=4sinαcos²α=4(1-cos²α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα

所以问题又化为证明不等式 (1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤0

（1+cosα)≤0∴不等式得证

∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cosα-=0 即α=60⁰

【评析】这些该题本身不难，但三角证明题出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度。另一方面，这一答案给出的分析法证明格式也不对，一般分析法证明题格式“要证A，只要证B”形式，B是A的充分不必要条件即可，而不是由A导出B。

    （1982年文科第七题）已知定点A，B且AB=2，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

解：选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-，0），B为（，0），设P为（x,y)

因为x²,y²两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆

（1983年文科第九题）如图，已知两条直线L₁:2x-3y+2=0,L₂:3x-2y+3=0.有一动圆（圆心和半径都在变动）与L₁，L₂都相交，并且L₁，L₂被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称

解：设圆心M的坐标为(x,y)，圆的半径为r，

点M到L₁，L₂的距离分别为d₁,d₂

根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有

      Y                       

                   L₂         

                       L₁    

               M              

     O                 X      

根据点到直线的距离公式，得

轨迹是双曲线

   【评析】答案说法有误：说圆应为以…为圆心，以…为为半径的圆,说双曲线说明以…为焦点…为实轴长的双曲线。

【说明】这段时间，考试的目的是考察中学数学的基础知识、基本技能，命题的人员以中学教师为主，为减少败题的出现机率，采取了科研测试方法（科研测试题从1988年暂停,1992年恢复），因此，这一阶段的败题多是不复合教学大纲的试题。

（1984年理二2）函数在什么区间上是增函数？

答：x＜-2.

【评析】该题用到了复合函数单调性，但这一内容在当时教学大纲中明确不要求。

（1984年理五）设c,d,x为实数，c≠0，x为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时求出它的解

解：原方程有解的充要条件是：

由条件（4）知，所以再由c≠0，可得

又由及x＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中

再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：

①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;

②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.

再由条件（1）（5）及（6）可知

从而，当c＞0,d＜1且时，或者当c＜0,d＞1且时，原方程有解，它的解是

【评析】该题即从两个层次考查了等价转化，中间又涉及了分类讨论，难度比较大，是一个考查能力的试题，与当时考查“双基”要求不符；结论：考查数学思想从深度及广度同时考查时，不能在某一思想上究得太深。

（1984年理六2）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程

解：因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，从而左焦点F的坐标为设d为点M到y轴的距离，则d=1

根据及两点间距离公式，可得

【评析】该题在当时一改习惯于教材上直接法求轨迹方程的步骤，被认为是对教学大纲的偏执理解，没有考查基础知识与基本技能，所以当作一种研究性的材料还可以，并最终诞生了相关点法的应用。至于到了考查能力时，它则又成为一道好题，那是十年之后的事情了！

（1984年理七）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为,b,c，且c=10，

，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值

解：由，运用正弦定理，有因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，

如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则

       Y                             

          B（0，6）                  

               D                   

      E      O＇ P（x,y)           

                                X    

      O  C（0，0）     A（8，0）   

AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，

所以内切圆半径r=EC=2.

如图建立坐标系，

则内切圆方程为:

(x-2)²+(y-2)²=4

设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上，所以，

S_最大值=88-0=88，S_最小值=88-16=72

解二：同解一，设内切圆的参数方程为

从而

因为，所以S_最大值=80+8=88，

S_最小值=80-8=72

【评析】该题是对知识的大综合，对于学生而言难度较大，而且就1984年的高考试题，解答题基本上是题题设防、题题堡垒，从整体上脱离了中学教学的实际。

（1984年文五）把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）

【评析】当时三角式最简没有明确什么什么样算最简，这一名次的提出具有超前性，对于文科生更感不易，但它引领了一个各种化简结果最简的研究方向。结论：研究方向不能替代仅仅那么一点时间高考试题！

（1985年全国文科第四题）证明三角恒等式

证：

【评析】三角证明题不宜作为大题考查，这是几年前的经验，该题重蹈了历史覆辙。1988年的文科数学试题第三题是“证明”，1989年全国理科19文、科20题“证明：”继续重蹈历史覆辙！

（1986年理文科一（6）题）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的       （   ）（A）充分条件  （B）必要条件

   （C）充要条件           （D）既不充分也不必要的条件

答案D

【评析】该题仅仅说了甲是乙的充分条件，没有说是否必要，因此该题的叙述不严格。这一不足，在以后命题中加以了改进，并渗透到平时教学中。

（1988年全国理科、文科一14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有                         （   ）

（A）种  （B）种（C）种   （D）种

答案B

【评析】该题不难，但是用符号而不用数值表示过多的限制了考试的思维，当年引起专家争议。随后的再实验，用事实说明了“这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！”

（1989年全国理22、文23）已知试求使方程有解的k的取值范围

解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足

当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解

由（1）得

当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解

当k≠0时，（4）的解是

把（5）代入（2），得

解得：

综合得，当k在集合内取值时，原方程有解

【评析】该题从题本身而言是一个好题，但是该题在当年许多学校已经练习过，作为高考试题，照搬原题是不适当的。

（1989年上海14）两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同的坐法种数为（   ）

A,CC    B,   C,    D,

答案：D

【评析】该题是对1988年全国214题的延续再实验，事实说明 “排列组合问题结果这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！而且这种命题从方式上也限制了学生的思维”

（1990年全国理科第9题、文科11题）设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|, x、y∈R },N={(x,y)|y≠x+1, x、y∈R }，那么＝（    ）

A,     B,{(2,3)}       C,(2,3)       D,{(x,y)|y=x+1}

【答案】B

【评析】该题基本上照搬了1986年上海理科第20题：若全集U={(x,y)|x、y∈R},A={(x,y)|, x、y∈R },B={(x,y)|y=x+1, x、y∈R },则_UA∩B是（    ）A, _UA       B,B        C,      D,{(2,3)}，高考试题照搬应该不是件好事。

 （1991年全国理23题） 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．

 解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．

BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．                                                  

∵ BD⊥AC，

∴ EF⊥HC．

∵ GC⊥平面ABCD，

∴ EF⊥GC，

∴ EF⊥平面HCG．

∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．              作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．                                          

∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，

∴ AC=4，HO=，HC=3．

∴ 在Rt△HCG中，HG=．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴ OK=．

即点B到平面EFG的距离为． 

   【评析】该题作辅助线太多，难度过大，是历年立体几何题少见的难度；但它的出现，将中学教学的“距离”引向以点面距为核心的研究上，就当年而言，此题与考查双基的思想不符。         

（1991年全国理科25题）已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式

log_ax－logx＋12logx＋…＋n (n－2)logx>log(x²－a)

解：利用对数换底公式，原不等式左端化为

log_ax－4?＋12?＋…＋n(－2)^n－1 ? =[1－2＋4＋…＋(－2)^n－1] log_ax =log_ax故原不等式可化为log_ax>log_a(x²－a)．      ①

当n为奇数时，>0，不等式①等价于  log_ax>log_a(x²－a)．             ②

因为a>1，②式等价于                                

因为<0， >=，所以，不等式②的解集为{x|<x<}．                   

当n为偶数时，<0，不等式①等价于log_ax>log_a(x²－a)．           ③

因为a>1，③式等价于  或                  因为                  

所以，不等式③的解集为{x|x>}．

综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；

当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}

【评析】该题照搬了当年湖北黄冈、河北辛集中学及北京海淀区的模拟试题，包括数值都没有变化。

（1991年三南高考数学第24题）设函数f(x)=x²+x+的定义域是[n,n+1]（n是自然数），那么在f(x)的值域中共有_____________个整数

【答案】2n+2

【评析】这是当年希望杯数学竞赛的一道数学试题，在高考中出现而且仍然以填空题出现，有照抄之嫌。

（1992年三南第14题）设数列{a_n}是正数组成的等比数列，公比q=2,a₁a₂……a₃₀=2³⁰,那么a₃a₆a₉…a₃₀=（ ）

A,2¹⁰            B,2²⁰            C,2¹⁶             D,2¹⁵

【答】B

【评析】该题运算量比较大，也是希望杯竞赛中一个非常类似的题，在还没有将运算能力当作一种能力考查时，出此题显然违背了考查“双基”的初衷。

【说明】该阶段，高考内容上以《考试说明》为准绳，目的逐步变化成“为大学选拔新生服务的选拔性能力考试”，命题的人员也逐步变化为以高校为主，出台了许多量化指标，该阶段的败题，主要体现为预估难度（考试说明的规定难度）与实际难度（实际分数）不符，这一原因现在多数专家认为是高校教师不了解中学教学的实际所致。

（1994年全国理文23题）如图，已知A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，D是AC中点．

(1)证明AB₁∥平面DBC₁；(2)假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数．

【解答】(1)证明：∵A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，∴四边形B₁BCC₁是矩形．连结B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．连结DE．在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．

(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B₁BCC₁，连结EF，则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．∵AB₁⊥BC₁，由(1)知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，则BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．设AC=1，则DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，

DF=DC?sinC=，CF=DC?cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，EF²=BF?GF，又BF=BC－FC=，GF=，∴EF²=?，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．故二面角α为45°．

（1994年上海18）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排列一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（    ）种

A,     B,    C,      D,

【答】D

【评析】这种排列组合用符号表示的试题在全国1988年已经有了不宜出的结论，它再次重蹈了历史覆辙。

（1996年全国理22、文23）如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁． (Ⅰ)求证：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数．

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)

(Ⅰ)证明：在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵                                     

∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵                            

∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．

③ ∵                      

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，

④ ∵                            

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵                    

∴，即

【解答】①∵面A₁EC⊥侧面AC₁， ②∵面ABC⊥侧面AC₁，   ③∵BE∥侧面AC₁

④∵BE∥AA₁，                 ⑤∵AF=FC，   

(Ⅱ)解：分别延长CE、C₁B₁交于点D，连结A₁D．

∵∥，

∴∵∠B₁A₁C₁=∠B₁ C₁A₁=60°，

∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=（180°－∠D B₁A₁）=30°，

∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即⊥                     

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C，

所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，

∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角为45°

【评析】以这种填空题形式出现，过多地限制了学生思维，出现了实际结果与预估难度非常大的反差。立体几何试题这样出不当；通过该题，也使近年立体几何的研究开始了降温。同时也使不少专家反省：高考试题与研究热点及竞赛试题还是当有区别的。同时，也确定了从1997年开始高考试题的进行量化评价。

（1997年全国理15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(    ) (A) 150种      (B) 147种     (C) 144种    (D) 141种

【解答】D

【评析】该题无论从直接还是间接思路，都要进行三级分类讨论，体现为试题很难。难度为0.18，按照当年《考试说明》，难度低于0.2的，应该算作废题。结论：考查单一的知识与思想，层数不能超过三级。

（1997年全国理24）设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x₁,x₂满足0<x₁<x₂<． I．当x(0, x₁)时，证明x<f (x)<x₁；

II．设函数f(x)的图像关于直线x=x₀对称，证明x₀<

【解析】证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以

F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)．

当x∈(0，x₁)时，由于x₁<x₂，得(x－x₁)(x－x₂)>0，又a>0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)>0，

即x<f(x)．

因为所以x₁－x>0，1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂>1－ax₂>0．

得  x₁－f(x)>0．由此得f(x)<x₁．

(Ⅱ)依题意知

因为x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根．

∴，

因为ax₂<1，所以

【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚。实际难度为0.09,也属于废题。

（1997年全国理25）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．

【解析】解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│，  │a│．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r²=2b²，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r²=a²+1．

从而得2b²－a²=1．又点P(a，b)到直线x－2y=0的距离为

，所以5d²=│a－2b│² =a²+4b²－4ab ≥a²+4b²－2(a²+b²) =2b²－a²=1，

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1，从而d取得最小值．

由此有解此方程组得或由于r²=2b²知．

于是，所求圆的方程是(x－1) ²+(y－1) ²=2，或(x+1) ²+(y+1) ²=2．

解法二:同解法一，得∴

得       ①将a²=2b²－1代入①式，整理得

       ②

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d²－1)≥0，

得  5d²≥1．∴5d²有最小值1，从而d有最小值．

将其代入②式得2b²±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r²=2b²，得r²=2．由r²=a²+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r²=2．由=1知a，b同号．

于是，所求圆的方程是(x－1) ²+(y－1) ²=2，或(x+1) ²+(y+1) ²=2．

【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚。实际难度为0.20,属于废题。通过1997年高考数学试题，专家们得出这样结论：竞赛试题要对某一知识应用中强调技巧，高考试题不能过多地偏重于技巧。

.（1999年全国文理16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）

【解答】12

【评析】该题的愿意是选垄并种播，但是题目没有明确叙述清楚，而只是笼统的说有多少种选法。

（1999年全国文理23，广东20）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

Ⅰ.输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为为了便于检修，请计算、、并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

轧锟序号

1

2

3

4

疵点间距（单位：）

1600

【解答】Ⅰ.解：厚度为的带钢经过减薄率均为的对轧辊后厚度为

为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足即 由于对比上式两端取对数，得

由于所以因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊.

Ⅱ. 解法一：第对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为宽度而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为宽度.因宽度相等，且无损耗，由体积相等得  即由此得填表如下

    轧锟序号                  1        2        3        4

疵点间距（单位：）       3125     2500     2000     1600

解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有所以同理        

填表如下

轧锟序号                      1        2        3        4

疵点间距（单位：）       3125     2500     2000     1600

【评析】该题情景对多数学生而言太过陌生，当年争议也非常大，“本身题是好题，但不适合学生作！”在当年的评价种，出现了“不同地域、不同背景的学生能够看懂”的说法，同时从这一年开始，原来的评价报告改成了分析报告。并取消了知识点覆盖率与难度低于0.2为废题的说法，将试题的评价指标指引到“更应注重其区分度上”。

（2000年全国、江西文理22，广东22）如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．

【解答】解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x₀, y₀)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由定比分点坐标公式得x₀== ，

．设双曲线的方程为，则离心率.由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得，                      ①

．     ②             由①式得    ，                    ③将③式代入②式，整理得，故    ．  由题设得，．解得．所以双曲线的离心率的取值范围为．                       

【评析】该题是1999年后，取消“0.2之下为废题”的说法，代之于“只要有一个办法中学能解即可”政策下出现的试题，但预估难度为0.21而实际难度为理科0.09、区分度为0.332.，文科难度0.10,区分度0.370.应该说这次尝试没有成功。

（1999年上海文科理科12）在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列中，若，则有等式                 成立。

【解答】

【评析】这是第一次出类比数学思想的高考试题，是否得当，当年争议颇大；结论是继续实验。

（2001年全国理3）设｛a_n｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (   )

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 6

【答案】B

【评析】该题太容易，基本上是白送分的题，当年的实际难度为0.96,区分度为0.174；没有将学生成绩区分出来

    （2001年全国理17、文19，广东19，天津山西江西乙20）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S―ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．

(Ⅰ)求四棱锥S―ABCD的体积；

    (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

【解答】（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M_底面，            

∴ 四棱锥S―ABCD的体积是 M_底面    ．            

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱．

∵ AD∥BC，BC = 2AD，∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，

∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角．                 

∵ ，BC =1，BC⊥SB，

∴ tan∠BSC ．即所求二面角的正切值为．          

【评析】该题是一个好题，但是与1994年上海高考试题太过类似：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=a，AD=3a，且∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,求

⑴二面角P-CD-A的大小（用反三角表示）⑵点A到平面PBC的距离。有抄袭之嫌，分析会议上，也说出了“谁说考过的就不能再考”的观点。而文科实际难度为0.175,区分度为0.548.

   （2001年全国理20） 已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．     (Ⅰ)证明；(Ⅱ)证明(1＋m) ⁿ＞ (1＋n) ^m．

【解答】（Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有= m?…?(m－i＋1)，           …，     同理 …，                     

    由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有，

所以 ，即．                  

（Ⅱ）证明由二项式定理有，                           ，由 (Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n)，而 ，，                               所以， (1＜i≤m＜n)．因此，．

又 ，，．

∴ ．即 (1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m．         

【评析】该题命题从排列组合二项式定理同时以大题形式出现，考了冷门，当年《考试说明》排列组合的证明只是了解层次，预估难度0.5，实际则是0.141,区分度为0.464.之后形成定格：排列组合二项式定理以小题形式考，而且一般出此不出彼的格局；同时，也台出形成了“遵循考试说明（大纲），但有不拘泥于大纲的政策”。

（2001年理文科12,广东12天津山西江西12，）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为                                                     (    )

(A) 26

(B) 24

(C) 20

(D) 19

【解答】D

【评析】这一题，许多文科生没有读懂就下手做，预估文理课差不多的情况，但实际是文科难度为0.175,区分度为0.097.，大多数文科生不会。在分析报告种，再度强调了“要体现文理科的差异”。

（2001年上海11）已知两个圆：x²+y²=1①与x²+(y－3)²=1②，则又①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为                   .

【解答】设圆方程(x－a)²+(y－b)²=r²  ①   (x－c)²+(y－d)²=r²  ②（a≠c或b≠d），由①－②，得两圆的对称轴方程.

  【解析】这是1999年类比的延续试验，该题基本上白送分，没有区分度。

（2002年北京理9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有

A．种B．种    C．种  D．种

【解答】A

【评析】这是重蹈历史覆辙不该以这种形式出现的题。每换一帮人出题，总会出现这种重蹈历史覆辙的情况。

【说明】该阶段试题以省市为主的自主招生为主，并逐步向“高校自主招生试题”转移，以《考试大纲》代替了原来的《考试说明》，这一阶段的败题主要体现为“不严密”或“考察意图失落”

（2003年江苏1）如果函数的图象与轴有两个交点，则点平面上的区域（不包含边界）为（    ）

【答案】C

【评析】该题不严格，关键在于a≠0对应图形中不应包含b轴；此题在当年争论非常大，甚至有一部分全国知名院士参予说“题出错”，搞得沸沸扬扬，甚至惊动国家领导人批示“妥善处理此”。现在看来，题出得不严格是个弱点，但对该题得选择不产生致命影响。通过该题产生了“教师成长的关键是什么？”的全国性大讨论。

（2003年江苏5，天津理4文8）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的

       （A）外心               （B）内心               （C）重心               （D）垂心

【答案】B

【评析】当年《考试大纲》对于平面向量得基本定理是“了解”层次，当该题一致拔高到应用层次，属于把握不当出现的命题失误。

（2003年江苏8，辽宁9，天津理7）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为   （    ）

   （A）        （B）      （C）       （D）

【解答】B

【评析】该题需要多想多算，诸多能力聚于一题，突破了常规，单就题本身而言是一个好题，但突破常规的题一多，就显得整体试卷太过艰难。说白了，没有处理好研究与命题的关系。类似题有：（2003年辽宁11，全国理10文11，天津理10文11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂，P₃和P₄（入射角等于反射角）. 设P₄的坐标为（x₄，0），若_，

则的取值范围是                    （    ）

   A．（，1）        B．        C．         D．

（2003年江苏9，全国7，天津理8）已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，

则（     ）   （A）1        （B）      （C）       （D）

【解答】C

【评析】该题非常活，活得基本上学生思考不到，从而做不出。竞赛性质非常浓厚。引起人们对高考命题是该与竞赛题一样的“深挖洞”，还是“广积粮”的思考。

   （2003年江苏20，辽宁22，天津理21文22）已知常数经过原点O以为方向向量的直线与经过定点为方向向量的直线相交于P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由

【解】（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点

（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点.

【评析】该题将向量与解析几何结合在一起，是当年“将向量当作工具使用”下的结构，但是无论向量还是解析几何都考查了一定的深度。结论：如果用广积粮的“串门”思路命题，不能每点都考查到一定深度！

（2003年江苏21）已知为正整数

（Ⅰ）设，证明；

（Ⅱ）设，对任意，证明

【解答】证明：（Ⅰ）因为，

所以

（Ⅱ）对函数求导数:

∴

即对任意

【评析】该题特别新颖，命题者锐意创新，坡度设置也太陡，而忽略了求稳，过多的闪光点出现学生根本无法适应的结果。

（2003年上海春招16）关于函数，有下面四个结论：

(1) 是奇函数   (2)当时, 恒成立

(3) 的最大值是   (4) 的最小值是

其中正确结论的个数为(    ).

(A) 1个      (B)2个      (C)3个      (D)4个

【解答】A

【评析】该题抽象程度太高，以致于没有几个人答对，就算答对者，也是随机成分比较大，此题没有考虑到学生的实际。

 （2004年湖北理8）已知数列{}的前n项和其中a、b是非零常数，则存在数列{}、{}使得（    ）

       A．为等差数列，{}为等比数列

       B．和{}都为等差数列

       C．为等差数列，{}都为等比数列

D．和{}都为等比数列

【答案】C

（2004年湖北文12）设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

12

15.1

12.1

9.1

11.9

14.9

11.9

8.9

12.1

       经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数（     ）

       A．      B．

       C．      D．

【解答】A

【评析】该题是课程标准中的一个例题，虽然方向是向课程标准倾斜，但并不是照抄课程标准。

（2004年全国Ⅰ（河北、河南、山东、山西、安徽、江西卷）理19）已知求函数的单调区间

【解答】函数f(x)的导数：

（I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0.

所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（II）当

 由

所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（III）当a<0时，由2x+ax²>0，解得0<x<－,

由2x+ax²<0，解得x<0或x>－.

所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.

（2004年浙江理文12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是

  （A）   （B）    （C）   （D）

【解答】B

【评析】该题一般的用逆推加数形结合方法选出，这样使从道理上说明的意图失落。

（2005年北京理7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

    （A）      （B）  （C）  （D）

【解答】C

【评析】该题又是重蹈历史覆辙的题目，类似有北京文8“五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A）种    （B）种   （C）种  （D）种”，辽宁3“设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ）

       A．           B．           C．           D．”

（2005年福建理12）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是

       A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

【评析】解至少有1，1.5,2,3,4,4.5,5七个，该题是一个错题，原答案为D。这是人们认识到“教师成长一靠专业化水平，二靠认真的态度”。

(2005年湖南理12)在（1＋x）＋（1＋x）²＋……＋（1＋x）⁶的展开式中，x ²项的系数是　　　　.（用数字作答）

【解答】35

【评析】该题是一个老题，而且多数参考资料上有此原题，抄袭原题对于高考而言不是一件好事。

（2006年清华大学自主招生数学试题8）在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC+BD的最大值，并证明

【评析】由于三角形ABD可以绕着对角线BD随意旋转，空间四边形的周长都不变，对角线AC没有最大值，故AC+BD也没有最大值。该题是一个错题。该题在国外引起的反响比较大，国内由于参加考试的人数比较少，没有形成大的影响。这使近年“教师的成长一在于自己的水平，二在于认真的态度，但更侧重于后者”的观点再次得到验证。

（2006年浙江文理17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，， 底面，且，分别为、的中点。

（Ⅰ）求证：；

       （Ⅱ）求与平面所成的角。

【解答】方法一：

（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB,

所以AN⊥PB.

因为AD⊥面PAB,所以AD⊥PB.从而PB⊥平面ADMN.

所以PB⊥DM.

（Ⅱ）连结DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角.

在中,故BD与平面ADMN所成的角是.

方法二：以A为坐标原点建立右手空间直角坐标系,设BC=1，则

（Ⅰ）因为

所以PB⊥DM.

（Ⅱ）因为所以PB⊥AD.又PB⊥DM.因此的余角即是BD与平面ADMN.所成的角.因为所以=

因此BD与平面ADMN所成的角为.

【评析】该题是一个老题，1994年上海高考出过，2001年全国高考也出过，再次出现不太妥当。

（2006湖北文理第10题）关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是

A．0    B．1    C．2    D．3

解：设|x²-1|=t,则k=-t²+t,作出二者的图像如图

k>时，t无解，对应的x无解；k=时，t=,对应的x有四个解；0<k<时，t有两个大于0小于1的解，对应的x有四个解；k=0时，t=0或t=1,对应的x分别有两个、三个解；k<0时，t有一个大于1的解，对应的x有两个解。选B

该题当年出现争议，争议的核心是t=1时，有三个解还是四个解（四个解是一正、一负、再有两个等解0），本身就是不严格的，因此这种题一般不选，或者加以改造，如改造为：“关于的方程，存在实数，使得方程恰有m个不同的实根；指出m的取值范围集合”，以使无有异议。但有争议的问题在高考试题中出现，怎么说也不能算作好题。

（2008年山东）函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是

（２００８山东）已知函数f(x)=log_a(2^x+b－1)(a＞0,a1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是

(A)0＜a^－1＜b＜1   (B)0＜b＜a^－1＜1   (C) 0＜b^－1＜a＜1     (D)       0＜a^－1＜b^－1＜1

【评析]】这两个题与课程标准中复合函数限于f(ax+b)的要求相悖，而当年山东是新课程标准的实验区之一

（2008广东理）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；

（3）若，，求的前项和．

（2008广东文）设数列满足，，（n = 3，4，…）。数列满足， （n = 2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有－1≤…≤1。（1）求数列和的通项公式；（2）记（n = 1，2，…），求数列的前n项和。

【评析】递推数列在新课标及教材中提都不提的内容，出现大的命题，不太妥当。而在此之前，广东的考试说明也称递推数列限于a_n=αa_n-1+β的形式。

以上两题引起广泛争议，促使课程标准的修订重新出台。