2009年安徽省数学高考模拟卷一
第一卷 选择题（共60分）
1． 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )．
A． B . C. D .
2．已知集合，，则＝
A． B． C． D．
3．设等差数列的公差为2，前项和为，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
4． 已知，则的值为
A． B． C．或 D．
5．二面角为，A,B是棱上的两点，AC,BD分别在半平面内，且，则的长为
A． B． C． D．
6．如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1）等于
A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）
C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）
7．已知满足约束条件，则的最小值是
A． B． C． D．
8. 某电视台连续播放6个广告，三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有
A．48种 B．98种 C．108种 D．120种
9．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
人体的脂肪含量百分比和年龄
年龄
23
27
39
41
45
49
50
53
56
58
60
脂肪
9．5
17．8
21．2
25．9
27．5
26．3
28．2
29．6
31．4
33．5
35．2
通过计算得到回归方程为，利用这个方程，我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%，那么数据20.90%的意义是：
A 某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%；
B 某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%的概率最大；
C 某人年龄37岁，他体内脂肪含量的期望值为20.90%；
D 20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计；
10． 设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是( )．
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
11．若的方差为3，则的标准差为 ( )
A．12 B． C．16 D．4
12．经过椭圆的右焦点任作弦，过作椭圆右准线的垂线，垂足为，则直线必经过
第二卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上
13．若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中
应填入的关于k的判断条件是 .
14． 已知函数反函数的图象恒过定点，则点在直线上，若则的最小值为 ．
15．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为O，满足,则三棱锥外接球的体积为 ．
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①过圆内一点（非圆心）作圆的动弦，则中点的轨迹为椭圆；
②设、为两个定点，若，则动点的轨迹为双曲线的一支；
③方程的两个根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④无论方程表示的是椭圆还是双曲线，它们都有相同的焦点。
其中真命题的序号为 . （写出所有真命题的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知，且对任意实数x恒成立.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调增区间.
18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为中点，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小.
19．（本小题满分12分）已知A,B是抛物线上的两个动点，为坐标原点，
非零向量满足．
（Ⅰ）求证：直线经过一定点；
（Ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值．
20．（本小题满分12分）
有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
第一排
明文字符
A
B
C
D
密码字符
11
12
13
14
第二排
明文字符
E
F
G
H
密码字符
21
22
23
24
第三排
明文字符
M
N
P
Q
密码字符
1
2
3
4
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数.
（Ⅰ）求P（ξ=2）
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.
21．（本小题满分13分）已知 ，其中
（Ⅰ）求使在上是减函数的充要条件；
（Ⅱ）求在上的最大值；
（Ⅲ）解不等式．
22. （本小题满分13分）
已知点列满足：（其中）。
（Ⅰ）若，（），求的表达式；
（Ⅱ）点B，记（），且有成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）设⑵中的数列｛｝的前n项和为，试证：。
一、BDCBA，BDCDC，BB
二、13． 14．8； 15．； 16． ③④
三、17、
解：（Ⅰ）
……………2分
由题意知对任意实数x恒成立，
得，
………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由，解得
所以，的单调增区间为……………………12分
18、
解：（Ⅰ）证明取SC的中点R，连QR, DR.。
由题意知：PD∥BC且PD=BC;
QR∥BC且QP=BC,
QR∥PD且QR=PD。
PQ∥PR,又PQ面SCD,PQ∥面SCD. …………6分
（Ⅱ）法一：
…………12分
（Ⅱ）法二：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（），B（）,C（），Q（），
面PBC的法向量为（）,设为面PQC的法向量，
由
COS
…………12分
19、解
设A,B两点的坐标为（）、（）则
（Ⅰ）经过A、B两点的直线方程为
由得：
令得：
从而
（否则，有一个为零向量）
代入（1）得
始终经过这个定点 …………………（6分）
（Ⅱ）设AB中点的坐标为（），则
又
即
AB的中点到直线的距离d为：
因为d的最小值为 ……………（12分）
20、解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.
若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.
若
（或用求得）. ………………………………………………8分
的分布列为：
ξ
2
3
4
p
……………………………………………12分
21、
（Ⅰ）
时，，即
当时，
即
在上是减函数的充要条件为 ………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时为减函数，的最大值为；
当时，
当时，当时
即在上是增函数，在上是减函数，时取最大值，最大值为
即 ………………（9分）
（Ⅲ）在（Ⅰ）中取，即
由（Ⅰ）知在上是减函数
，即
，解得：或
故所求不等式的解集为[ ……………（13分）
22、
解：：⑴
，
，即为的表达式。 （6分）
⑵，，又（）
要使成立，只要，即，
即为所求。
⑶
故有
（13分）