辽宁省锦州市2009年高三质量检测(一)
数 学(理)
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅱ卷第22、23、24题为选考题，其他题为必考题。
2．所有题目请在答题卡上作答，否则无效。
参考公式：回归系数公式 球的体积公式。
第Ⅰ卷(选择题60分)
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；字迹工整、清楚。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
(22)(本小题满分10分)几何证明选讲
等腰三角形中，，为中点，于，为中点。
求证：。
(23)(本小题满分10分)坐标系与参数方程
求直线 被曲线 截得的弦长。
(24)(本小题满分1O分)不等式选讲
已知不等式≥的解集是R
(I)求实数的取值范围：
(Ⅱ)在(I)的条件下，当实数取得最大值时，试判断是否成立并证明你的结论。
2009年高三质量检测（一）
数学（理）
选择题：ABAAD CABBD AC
二、填空题：13. （1，2）∪（，+∞） 14.
15. 16.
三、解答题：
17：解：（Ⅰ）掷出点数可能是：1，2，3，4。则分别得：-2，-1，0，1.
于是的所有取值分别为：0，1，4.因此的所有取值为：0，1，2，4，5，8. -----2分
当时，可能取得最大值8，
此时，
当时，可能取得最小值0，
此时， -----6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的所有取值为：0，1，2，4，5，8.
当时，的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）
即
当时，的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）
即
当时，的所有取值为（1，3）、（3，1）
即
当时，的所有取值为（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）
即
所以的发布列为：
0
1
2
4
5
8
--------------------------------10分
即的期望 ----------------12分
18. 解：⑴ 由题意知，因此，从而．-------1分
又对求导得． --------------------------------2分
由题意，因此，解得． ---------------------3分
⑵ 由（I）知（），令，解得．--5分
当时，，此时为增函数；
当时，，此时为减函数．--------------------------------7分
因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为．--------8分
⑶ 由⑵知，在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使（）恒成立，只需．------------------------10分
即，从而，
解得．所以的取值范围为．-------12分
19. 解（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，
∵D为AC中点 ∴OD∥B1A
又B1A平面BDC1，OD平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1 -----6分
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC
则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，
CB所在直线为Y轴，所在直线为轴建立空间
直角坐标系 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)
∴
设平面的法向量为
则
又平面BDC的法向量为
∴二面角C1―BD―C的余弦值：cos -----12分
20. 解（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F（）由题设
解得 故所求椭圆的方程为---4分
（2）设P为弦MN的中点，由 得
由于直线与椭圆有两个交点，即 ①---6分
从而
又，则
即 ②---8分
把②代入①得 解得 由②得 解得
.故所求m的取范围是（）---12分
21. 【解】⑴依题意，得Pn(an，0)、Qn(an，2n)，y¢＝2x，an＞0
∴过点Qn (an，2n)的切线方程为y－2n＝2an(x－an).????????????????????????????????? （2分）
当n＝1时，切线过P(1，0)得a1＝2???????????????????????????????????????????????????????? （3分）
当n≥2时，切线y－2n＝2an(x－an)过Pn－1(an－1，0)得
0－2n＝2an(an－1－an)，即an＝2an－1
∴数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列
故an＝2n????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （6分）
⑵bn＝＝＝－????????????????????????????????? （8分）
∴Tn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
22. Ⅰ解：建立如图坐标系：------------------------（2分）
由已知可设：C（1，0），A（0，m），则：B（-1，0）
设E（x，y），
得： ∴E（，）-------（6分）
则=（+1，）， ------------------------------------（6分）
=（，-m） -----------------------------------（8分）
?=（+1）?+?（-m）=0
∴BE⊥AF----------------------------------------------------------------（10分）
23.解：直线----（3分）
曲线即圆心为(1，1)半径为3的圆 ----（6分）
则圆心（1，1）到直线----（9分）
24. 解：（Ⅰ）由绝对值不等式性质知：
对恒成立
故的解集为，只须既可
的取值范围是 -----------------（5分）
（Ⅱ）由（1）知实数的最大值为3
当时，不等式成立
证明如下：利用分析法
要使成立
只须
等价于
等价于
等价于 ，而显然成立，以上每一步均可逆推，故所证明不等式成立。-----------------（10分）