上海市南汇区2009年高考第二次模拟考试
高三数学（理科）试卷
（时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分）
1．函数的反函数是_______________________
3．函数的最小正周期是
4．=
5．一种彩票，每注售价2元，中奖率为1%，如果每注的奖金为50元，则购买一注彩票的期望收益是_____元。
6．地球的半径为R，在北纬东经有一座城市A，在北纬东经有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是_______ （飞机的飞行高度忽略不计）。
7．如图所示，这是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是
8．已知直线的极坐标方程为，则极点到这条直线的距离是
9．，则____________
试用 n表示出第n个图形的边数
11．三位同学在研究函数 (x∈R) 时，分别给出下面三个结论：
① 函数的值域为 (－1,1)
② 若，则一定有
③ 若规定，，则对任意恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
12．等差数列的前n项和为，若为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ）
A． B． C． D．
13．是实系数方程的一个虚数根，则直线与圆C：交点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．以上都可能
14．在中,“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
三、解答题（本大题有5道题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
16．(本题满分12分)
17．（本小题满分14分第1小题7分，第2小题7分)
圆锥的轴截面是等腰直角三角形，如图所示，底面圆的半径为1，点O是圆心，过顶点S的截面SAB与底面所成的二面角是，
（1）求截面SAB的面积；
（2）求点O到截面SAB的距离。
18．（本小题满分15分第1小题7分，第2小题8分)
为减少世博中心区域内的环境污染，有关部门决定，从2006年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户手续.此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆.据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的4%.若从2006年年初起n年内退役部分摩托车，第一年退役a万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力.
（1）求n年内新增公交车的总量（万辆）;
（2）要求到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为,问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）
19．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
设、分别是椭圆的左、右焦点，其右焦点是直线与轴的交点，短轴的长是焦距的2倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（3）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
20. （本题18分，其中（1）题4分，（2）题6分，（3）题8分）
对于定义在上的函数，可以证明点是图像的一个对称点的充要条件是,.
(1) 求函数图像的一个对称点；
（2）函数在R上是奇函数，求a,b满足的条件；并讨论在区间[-1，1]上是否存在常数a，使得恒成立？
（3）试写出函数的图像关于直线对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数图像的对称性。
南汇区2009年高考模拟考试高三数学理科答案
一、填空题
1． 2． 6 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10． 11．3
三、解答题
16．解：
……………4’
当＞0时，， 解得，……………………6’
从而， ，
T=，最大值为，最小值为；……………………………………………8’
当m＜0时，， 解得，……………………………10’
从而，，
T=，最大值为，最小值为．………………………………………12’
SO=1,所以OC=，SC=，AB=
∴截面SAB的面积=
（2）在中，作，则OD即为所求，
18．解：（1）设2006年底退役摩托车为万辆，2007年底为万辆，依次类推，则：
=a，
所以n年内退役的摩托车数量是S’=+=
所以n年内新增公交车的总量=5a（4%=0.2a（）
（2）到2010年年初退役的摩托车数量是：
剩余的摩托车数量是：1.6-
新增公交车的数量
依题 ：[1.6-]b+7b0.5×1.6b
解得：a0.38
所以第一年至少退役摩托车0.38万辆
19．解：（1）易知直线与轴的交点是，所以，且，
所以椭圆的方程是 ……………………………………4分
（2）易知 …………………………………………6分
设P（x，y），则
= ……………………………………8分
，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 ……10分
（3）设，则P点坐标为，…………………………12分
代入椭圆方程，得：，
即…………………………16分
20. 解：(1)解：设为函数图像的一个对称点，则对于恒成立.
即对于恒成立，……………(2分)
由，
故函数图像的一个对称点为. ……………………(4分)
（2）ａ∈Ｒ，ｂ＝２时，ｆ(x)是奇函数。
不存在常数a使 x∈[-1，1] 时恒成立。
依题，此时
令 x∈[-1，1]
∴∈［－7，1］
若a=0,＝0，不合题；
若a>0, 此时为单调增函数，＝－a.
若存在a合题，则-a1,与a>0矛盾。
若a<0, 此时为单调减函数， ＝a
若存在a合题，则a1，与a<0矛盾。
综上可知，符合条件的a不存在。 …………………………………………10分
（3）函数的图像关于直线对称的充要条件是
……………………………………………………………………(12分)
①时，，其图像关于轴上任意一点成中心对称；关于平行于轴的任意一条直线成轴对称图形；
②时，，其图像关于轴对称图形；
③时，，其图像关于原点中心对称；
④时，的图像不可能是轴对称图形。
设为函数图像的一个对称点，则对于恒成立.
即对于恒成立，
由，
故函数图像的一个对称点为. ………………(18分)